数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (5-1)

注：（2/2）章节！

5.1.强迫公理成为一般绝对性的原则。我们有已经说过，直到最近，强制公理还被视为结果hoc原则，作为证明数学语句一致性的技术工具，确实非常有用，而不必直接使用强制，但决不是真正的公理。然而，最近的一些结果表明。事实上，强制公理的某些有界形式是实公理。第一个这是J.Stavi和J.V¨a¨an¨anen首次证明的结果表明Martin的Axiom等价于以下声明：

H2中每一个带参数的∑1句子ℵ0可以被强制保留ccc的强制概念是正确的。

不幸的是，这个结果多年来一直没有公布，但后来被独立发现并首次发表在[4]中。StaviV–a–an–anen包含该结果的论文现已发表（[31]）。

这一结果表明，通过考虑宇宙的理想强迫扩展，可以看出MA满足极大性和公平性的标准。

关于更强的强迫公理，S.Fuchino[11]给出了PFA在潜在嵌入方面的以下令人惊讶的特征：

PFA等价于这样的陈述，即对于任意两个结构A和B，基数为Aℵ1，如果一个适当的强迫概念强迫存在将A嵌入到B中，则存在这样的嵌入。

对于公理SPFA和MM，同样的刻画成立，替换分别通过半适当或通过保留ω1的平稳子集来适当。

给定两个结构A和B，句子：存在嵌入参数A和B中的∑1。因此，PFA满足扩展极大性准则，因为它断言某些集合的存在，即结构之间的嵌入，这将存在于理想的强迫中通过适当的偏序集对宇宙的扩展。但这似乎并不令人满意公平性标准，因为断言结构之间嵌入的存在似乎限制性太强。

类似的考虑适用于公理SPFA和MM。

5.2.有界强迫公理。PFA的配方也可以如下：

对于每一个适当偏序P和每一个大小的族Dℵ最大值的1B＝dfr.o.（P）\｛0｝的反链，存在一个滤波器F⊆B，它与D。

M.Goldstern和S.Shelah[14]介绍了有界的真强迫Axiom（BPFA），它类似于PFA，如上所述，但有一个额外的要求，即D的最大反链至多具有大小ℵ1.

Fuchino的论点表明，BPFA实际上相当于对任何两个大小的结构A和B的陈述ℵ1，如果适当的强制这个概念迫使A嵌入到B中，那个么这样的嵌入就存在了。注意，在这个公式中，我们可以假设结构A和B属于Hω2。

与任意大尺寸结构的情况不同，∑1的集合-断言在的结构之间存在嵌入的句子大小ℵ1作为参数是不受限制的，因为如果有这样的句子。如果是强制的，那么这同样适用于任何其他参数为Hω2的∑1句子

因此，我们对BPFA进行了以下表征（[5]）：

BPFA等价于每一个∑1句子的参数为Hω2这是由一个恰当的强迫概念所强迫的，这是正确的。

更一般地，给定一类强迫概念Γ，设有界强迫类Γ的公理，写为BF A（Γ），是以下陈述：

每个∑1句子的参数为Hω2那是被迫的Γ中的概念是真的。

也就是说，对于每个P∈Γ，如果Γ是∑1句子，可能带有参数在Hω2中，其r.o.（P）-布尔值为1，则ξ成立。

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