数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (5-3)

6.有界强迫公理与连续体问题

公理BPFA，BSPFA，和BMM是已知的（参见[2]和[33]）。但是Bounded的相关性迫使公理进入我们目前的讨论是，与大的公理不同大基数，他们确实解决了康托的连续体问题。

Woodin[38]证明，如果存在可测量的基数，则BMMω1的定子集的ω1-序列为参数，因此连续体的基数是ℵ2.D.Asper´o和P.Welch[3] 从一个较弱的大基数假设中得到了同样的结果。最后，Todorcevic[32]证明了BMM意味着存在一个良序长度为ω2的实数，其可在Hω2中用ω1-序列定义实数作为一个参数，因此连续体的基数是ℵ2.

表明BMM意味着连续体的大小为ℵ2需要用小于ω2的序数编码实数的一些方法。两种这样的方法分别由Woodin和Todorcevic设计——假设存在可测量的基数。最近，Justin T.Moore[26]发现了一种新的编码方法，该方法进一步改进了Woodin、Asper´o-Welch和Todorcevic的上述结果链，即：

BPFA暗示实数在长度ω2上有一个良好的序，它是ω1-可数序数序列作为参数，因此连续体的基数是ℵ2.

因为，正如我们已经讨论过的，有界强迫公理是自然的集合论的公理，结果表明它们暗示连续体的基数是ℵ2构成了Cantor的自然解连续体问题。

有界强迫公理与ZFC的一致性问题仍然存在。我们已经观察到，BPFA和BSPFA相对于∑2-反映基数的存在是一致的，一个非常弱的大基数层次中的大基数假设。一致性BMM的强度尚不清楚，这是最有趣的公理反射之一，该地区的问题。BMM甚至可能暗示PD，即每个射影实数集是确定的，因此它的一致性强度大致相当于无数伍丁基数的水平。它也是一个Asper´o的最大有界强迫公理是否真的等价于BMM，这是一个悬而未决的问题。其他悬而未决的问题如下：

很有意思的是，是否存在任何有界强制Axiom，因为一类自然的强迫概念，这意味着连续体是ℵ2，并且其一致性强度仅为ZFC。它也会在某种形式的有界强迫公理下使用单个实数作为参数，通过小于ω2的序数对实数进行编码。

有界强迫公理至少和大的公理一样自然大基数。这两种公理都满足极大性和公平性的标准。但有界强迫公理在某种意义上比大基数的公理，对于它们所基于的理想扩展，也就是说，宇宙的理想强迫扩展比通过将V嵌入的技巧，将已经包含在V中的传递类M视为V的扩展而获得的理想扩展它所有已知的大基数公理都与有界强迫相容Axioms。因此，同时处理这两种公理是合理的。Woodin孤立了一个公理，我们可以称之为Woodin的极大值（WM），将大基数和有界的幂合并在一起强制Axioms。WM具有其决定的惊人特性Ω-思维方式ω2的整个理论（参见[39]）。WM断言如下：

（1） Woodin枢机主教有一个适当的类别，并且

（2） 在ZFC的每个内部模型M中，BMM的一个强形式成立包含Hω2

并认为Woodin有一个合适的阶层大基数。

（2）的BMM的强形式表示：结构为hHω2，∈，NSω1的语言中的每个∑1句子（带参数），Xi——其中NSω1是非平稳理想，X是L（R）中的任何实数集，在某些情况下成立（理想）通过保持静止的强迫概念的V的强迫扩展ω1的子集已经在V中成立。

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