数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (11-1)

注：本章共分为（1/2）章节！

摘要

众所周知，Cantor的连续体问题，R的基数是多少？独立于集合论的ZFC公理。K.G模型（[12]，[13]）提出应该找到解决问题的公理，并暗示大基数公理。然而，在发明之后不久，关于强迫，Levy和Solovay[20]表明，即使在ZFC中添加了通常的大基数公理，比如可测量基数的存在，甚至超紧基数，当然，前提是这些公理一致的虽然已经提出了许多公理来解决Axiom的问题——尽管并不总是以同样的方式强组合公理的可构造性，强制Axiom或Martin的Maximum，到目前为止还没有被公认为一条自然公理，并被视为一条恰当的公理连续体问题的解决方案。在本文中，我们讨论了启发式原理，可视为集合的元公理理论，为评估集合理论公理。根据这个标准，我们评估类公理，特别强调最近引入的一类集合论原理，我们可以合理地认为它们构成了集合论非常自然的公理康托连续体问题。

1.简介

认识公理必须有第一步，[…]

使公理看起来值得考虑的步骤公理，而不仅仅是猜测或推测。

莱因哈特（[27]）

康托尔的连续体问题，即R的基数是多少？有一直是集合论发展的核心问题。自从康托尔1878年提出的连续统假说R的每个无限子集要么是可数的，要么具有相同的基数作为R（[8]），Set取得了非常戏剧性和出乎意料的进展，从理论上解决问题。众所周知，CH也不能用集合论的ZFC公理证明它的否定，只要它们是一致的。在G模型的可构造宇宙CH中，而Cohen的强制方法允许建立ZFC的模型，其中R的基数可以是任何基数，只服从必要的要求它具有不可计数的余数。

然而，这种情况远远不能令人满意。诚然，包括科恩本人（见[9]）在内的一些数学家表达了这样的信念：

没有比这更令人满意的解决方案了满足于独立的结果。但这在数学家中，尤其是集合论者中，对于连续体问题。借鉴现实主义的数学方法，到目前为止，数学家中最常见的是G¨odel和Cohen的结果表明，ZFC公理足以发展大多数古典数学，构成太弱一个解决康托尔问题的正式系统，因此，用额外的公理加以补充。事实上，G¨odel自己制定了一个寻找新的自然公理的程序（[12]，[13]），添加到ZFC公理，将解决连续体问题，他暗示基本公理可以做到这一点。这被称为G模型的程序。

然而，不幸的是，Levy和Solovay[20]很快就注意到通常的大基数公理，比如可测量基数的存在性，甚至超紧凑或巨大的基数都是不够的。但是这并不意味着G¨odel的计划不再具有可辩护性。恰恰相反。仍然完全有可能的是，新的大基数公理，与迄今为止所考虑的不同，可能是相关的到连续体问题的解决。事实上，Woodin最近的作品（[38]）表明，在大基数下，ZFC的任何合理扩展在一个强逻辑称为Ω-逻辑，会反驳CH（参见[15]的讨论Woodin在G¨odel项目上的工作的相关性）。但我们的目的这里并不是要讨论大基数公理对连续体的重要性问题，至少不是直接的，而是介绍和讨论一些启发式原则，可以被视为集合论的元公理为评价集合论公理的自然性提供了一个标准。

在这个标准下，我们评估了几种公理，包括大基数，特别强调一类集合论原理最近引入的，称为有界强迫公理，用于有人可以合理地争辩说，它们构成了集合论，并解决了Cantor的连续体问题。

2.集合论的自然公理

核心原则是反思原则，随着我们经验的增加，反思原则可能会被更好地理解。

K.G模型（[36]）

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