数学论文（关于集合中新公理的自然性学说） (11-7)

我将从Zermelo-Frenkel集合论的众所周知的公理开始，与其说是因为我[…]有什么特别新的东西谈论它们，但更多的是因为我想抵消这样一种印象，即这些公理享有优先的认识论地位，而不是由新公理候选人共享。

当然，麦迪的自然主义与内在原因是正交的，但接下来Boolos的一句话取自同一篇论文，在该论文中，可拓性公理在集合的概念中被认为是解析的。

尽管它们不是从迭代概念中派生出来的采用替换公理很简单：它们许多可取的结果，（显然）没有不可取的结果。

因此，如果即使在在ZFC的情况下，那么本质的性质似乎是一个极限概念，更具体的性质，我们可以归因于新的集合理论公理。事实上，外在原因的主要存在本身就是我们在赋予公理内在特征时遇到困难的标志。

此外，在应用内在原因方面缺乏共识并不是在应用外在策略时采用明确的策略加以平衡。以下内容这个例子是为了说明在两个表面上同样外在合理的集合理论原则之间进行区分是多么的不确定。我们将讨论选择公理，这通常被认为是ZFC中最外在合理的公理，以及确定性公理，其富有成效这些申请代表了Woodin项目第一步的成功。

定义3.2。（确定性公理（AD））设A⊆ωω（即长度为ω的自然数序列），并让GA是其中玩家I然后我选择自然数

I x（0） x（2） x（4）……

II x（1） x（3） x（5）……

在ω-多个步骤后结束，并满足以下获胜条件：玩家当x=hx（I）：I∈ωI∈A时，I获胜，否则玩家II获胜。那么AD就是以下语句：对于每个A⊆ωω，则确定游戏GA；即，在那里无论是对玩家I还是对玩家II来说，都是一种制胜策略。

这个表面看来与集合论实践相距甚远的公理对现代集合论的许多基本问题产生了巨大的影响。在Woodin和其他人展示了大量有趣的结果之后关于这一公理，AD成为了一个公理的典范这取决于接受它的外在原因。然而，AD并不与所有ZFC公理兼容。特别是AD意味着对公理的否定选择（AC），因为它意味着实数的所有子集都是勒贝格可测量，而通过AC可以建立R的不可测量子集。然后如何在两个明显外部合理的和不相容的公理？

如果我们观察集合理论实践的后续自主发展，我们可以看到，已经考虑了具有选择函数的可能性不可避免，因此AD被认为需要重新制定。作为事实集理论家将他们的焦点转移到了这一公理的限制版本上；特别是ADL（R）这就是确定性公理可由所有序数和实数构造的内部模型。在大型基数这个结构是ZF公理的模型，以及依赖选择：一个比AC弱的选择原则。尽管AD有一个则优选ADL（R）21，后者是较低的稠度强度。这从AD到ADL（R）的撤退并不是出于明确的内在或外在原因，而是出于不同形式的考虑容纳一种理论的目标，在这种理论中，最具确定性与大多数选择一起。换句话说，尽管AC在ZFC的上下文中通常被认为是外在的，但当面对富有成效的公理时扩展ZFC的内在组合价值被提出作为不放弃选择所给予的自由。

至于我们之前讨论过的理论困难，在这里我们也面临着在实践中，预设正当性结果的问题适用其标准；换言之，我们从一开始就假设某些要素的相关性，先于正当性标准，独立于正当性标准我们打算使用。此外，AD和AC的案例清楚地表明集合论的历史发展可能会影响准则的应用。

因此，这些标准并不是一劳永逸的，但是可以根据具体情况而变化。

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