数学论文（关于集合中新公理的自然性学说） (11-2)

旧的观念建立在一种通过参照来考虑真理的观念之上与理论主题的直接联系是两者的安全基础有效性和正当性。这一观点在古典思想中得到了体现公理的真理最终取决于它们捕捉本质的能力由理论描述的物体的性质。针对这种态度，我们发现不再将真理视为公理，而是作为一个依赖于内部或外部数学原因。作为这种观点的一个极端例子，我们可以找到希尔伯特的观点，根据这个观点，真理被认为是内在的公理系统的性质和真理的终极标准是这样的一致性。只要我一直在思考、写作和演讲这些事情，我一直在说完全相反的话：如果任意给定的公理不要互相矛盾，否则他们是真实的，并且由它们定义的事物是存在的。这是给我的真理与存在的标准。

尽管希尔伯特认为通过一种基于隐式广泛运用的数学哲学方法定义，然而集合论中普遍存在的独立性敦促在不兼容的公理候选者之间进行选择，因此证明我们的偏好。然而，如何调和现代视角关于公理和在没有任意性的情况下扩展ZFC的必要性？

当然，真理仍然是数学研究的主要关注点，但它很明显，它不再是直观或明显的特性。此外集合论的新进展来自于集合与集合之间的相互作用概念分析与我们的期望与结果的对抗我们的一些发现与应用于纯数学的科学方法非常相似。因此，为了避免依赖新的理由关于所谓真理理论的公理，我们可以假设真理，将其视为一个极限概念，尽管它发挥着调节的作用在我们科学进步的某个特定时刻，不能认为这一想法是实现的。

换句话说，我们在公理的正当性和真理。

因此，在处理正当性问题时，我们不打算直接处理数学中的真理问题。我们确实相信仅凭这种正当性，并不能使人确信公理作为动态过程的一部分，所提出的理由只能被看到作为指向寻求真理的方向的建议。事实上，正当理由程序恰好被修改，这就要求资格真理在这个过程中的作用。

因此，区分公理是真实性及其与意义问题相关的原因是真的。尽管从当代的角度来看，公理的真理是与数学原因交织在一起的，更多的是哲学原因正是因为涉及到了意义的概念。

由于我们感兴趣的中心是新公理的正当性，我们设置，我们讨论的阶段选择了一个非形式主义的哲学视角。像事实上，要么我们的问题在哲学上微不足道&在形式主义者看来设定它确实是空洞地解决了——或者我们应该被允许假设语法和语义之间存在对应关系，能够告知正当理由的标准。做出这样的选择有很多原因：首先在处理集合论等基础理论时，要解决还原主义形式主义立场的困难，比如淘汰结构主义立场，但更多重要的是，因为我们认为，在这个特殊的问题上，一般的形式主义立场应该比简单地拒绝这个问题更实质正当性。

因此，它是在关于意义和指称的讨论的背景下我们可以解决集合论新公理的证明问题。

但一旦一个对应的理论被剥夺了真理的内容，剩下的是意义所赋予的语法和语义之间的联系数学命题。事实上，在非常普遍的层面上，我们可能当我们能够争辩时，接受公理的正当理由它符合理论形式化的基本思想或原则公理是属于的。因此，这里困难的哲学任务是确定这些思想或原则的理论地位。一个可能的简单解决方案包括，然而，在用客观概念代替对象时，正如我们稍后将讨论的那样，此举在许多方面都存在问题。

现在让我们回到设定理论上来。新公理的证明问题是由G¨odel的程序形成的：对ZFC的公理旨在找到具体数学问题的解决方案像连续统问题，即确定一组实数。近年来，这一项目已被采用Woodin提出了一个循序渐进的程序所有集合的宇宙的第一个初始段。

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