数学论文（关于集合中新公理的自然性学说） (11-1)

注：本章共分为（1/2）章节！

摘要

本文分析了集合论中自然公理的概念。为此，我们回顾了内在-外在二分法，发现它在使用中既有理论上的困难，也有实践上的困难。我们将描述和讨论一个理论框架，我们称之为概念现实主义，其中通常采用标准的论证策略。在概述我们的观点时，我们建议，自然性的广泛使用需要对标准策略，支持同时考虑导致集合论形式化的历史过程。明确地我们会争辩说，当公理有助于对任意集概念的澄清。

介绍

集合论的基础是世界上最令人兴奋的研究领域之一形式科学领域，结合了两个具有挑战性的数学问题以及深刻的哲学反思。自从发现了G模型的不完全性——在Cohen发明强迫之后更是如此–很明显，如果集合论被认为是正确的基础对于数学来说，独立性结果的普遍存在必须是包含。因此，在他关于连续体问题的著名文章中（G¨odel，1983]）G¨del提出了现在被称为G¨del的新计划集合论中的公理，后来由Woodin在他的纲领性论文中完善关于连续体假说（[Woodin，2001]）。背景动机这两个程序的作用在于解释ZFC的极限，而不是内在的设置理论，但只是作为Zermelo的形式表示的一个缺陷Fraenkel等人对Cantor的集合理论给予了肯定。因此，G模型该程序建议用新的公理来补充ZFC，这些公理能够给出确定性独立问题的解决方案，从而恢复集合论。

[T] 这些公理[即大基数公理]清楚地表明目前已知的集合论的公理系统是不完整的，但是也可以用新的公理来补充而不具有任意性这只是迄今为止建立的那些机制的自然延续1。

从哲学上讲，这一举动引发了一场重大讨论论集合论的基础与新公理扩展的正当性ZFC。

在下文中，我们将试图理解“无任意性”的含义以及自然性概念如何在澄清这一表述中发挥作用。它事实上，提到数学的自然组成部分，一般来说，更具体地说，是将自然性归因于善公理候选者已经变得相当普遍。我们的目标在于数学原因的哲学背景。事实上，我们相信由于这门学科的技术性，哲学思想常常被遮蔽通过数学结果。在这样做的过程中，我们将批判性地讨论两个主要的差异-论证新公理的虚构性：首先是相信内在-外在的二分法有助于对问题的哲学阐释，第二个假设是，对于一个稳定且定义良好的集合概念，我们应该开发G模型或Woodin程序：

所有集合理论问题的分步解法。

这篇文章的结构如下。在第1节中，我们明确了哲学在何处寻求对新的正当性进行有意义的讨论的背景公理。在概念现实主义的名称下，我们将确定隐含在我们认为是标准中的理论假设2战略为新的理论原则辩护。为了澄清自然公理的概念，在第2节中，我们回顾了内在原因和外在原因之间的区别，在第3节中我们描述了理论和使用这种二分法的实际困难。然后，在第4节中，我们将讨论与概念现实主义有关的问题旨在追求G模型程序的公理的正当性。最后，在第5节中我们将提出一种不同的辩护策略：一种考虑到促使a公理化的理论和哲学原因学说然后，我们将解释在什么意义上我们认为公理应该是被认为是自然的，我们会在任意集的概念中发现关于这一点，可以争论支持新公理的自然性集合论。在讨论自然性归属的原因时，我们将描述一个新的理论框架，试图克服这两个限制内-外二分法与概念现实主义的困境集合论新的局部公理的证明中的遭遇。

1关于公理的正当性

现代公理学的一个主要入口是视角的根本改变关于数学中的真理和意义。我们协助逐渐脱离了将理论的基本原则视为表达不言自明命题的句子，转向一个更抽象的概念，将公理视为数学探究的合法组成部分。

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