数学论文（柏拉图主义与集合论终极宇宙） (8-5)

定理2.4(武丁，1999)假设W是真类，并且假设T是可数理论，σ是语句，则对任意完全布尔代数B

T╞Ωσ当且仅当VB╞“T╞Ωσ”。

这就是说，假设存在武丁基数的真类，Ω-逻辑后承关系是脱殊绝对的。特别地，全体Ω-逻辑有效式的集合VΩ={σ｜╞Ωσ}不能被任何力迫改变。

还注意到，假设W是真类，则MlI2与VΩ具有同样的图灵复杂度，即，每个集合都在另一个集合中是递归的。同样，假设W是真类，则集合VΩ(H(δ0+))={σ丨ZFC=σ“H(δ0+)╞σ”}恰好就是ThM(H(δ0+))。为了定义Ω逻辑的证明，我们需要回忆一些概念。一个拓扑空间是紧致的当，且仅当它的任意覆盖都有有穷子覆盖;它是豪斯道夫(Hausdorff)空间当且仅当它的任意两个不同点都有不相交的邻域。令S为紧致的豪斯道夫空间，称XS在S中有贝尔性质当且仅当存在开集OS使得对称差X△O在S中是贫乏集(meagerset).

定义2.5(冯琦、麦基道、武丁，1992)一个实数的子集A具有通用贝尔性质当且仅当对任意紧致豪斯道夫空间S，任意连续映射f:S→R，A在S下的原象具有贝尔性质。

定义2.6(武丁，1999)假设AR具有通用贝尔性质，M是ZFC的传递模型。称M是强A-封闭的当且仅当对任意N，如果N是传递的且是M的脱殊扩张，则A∩N∈N

定义2.7(武丁，1999)假设W是真类。假设T是可数理论，σ是语句，则T├Ωσ当且仅当存在AR:

1.A是通用贝尔集;

2、对任意可数传递模型M，若M是强A-封闭的且T∈M，则M╞“T╞Ωσ”。

定理2.8(武丁，1999)假设W是真类，并且假设T是可数理论，σ是语句，则对任意完全布尔代数B，

T├Ωσ当且仅当VB╞“T╞Ωσ”。

定理2.9(武丁，1999)假设W是真类。如果T├Ωσ，则T╞Ωσ。

几猜想假设W是真类。对任意语句σ，╞Ωσ当且仅当├Ωσ

叙述了什么是几猜想，我们就可以回到武丁的回应上了:

定理2.10假设W是真类且几猜想成立，则Vn在集合VΩ(H(δ0+))中是递归的。根绝前面的分析，这实际上是说脱殊复宇宙立场违反了第一多宇宙定律。而下面的定理则是说，这一立场同样违反第二多宇宙定律。

定理2.11假设W是真类并且Ω猜想成立，则V在集合H(δ0+)中可定义。所以，脱殊复宇宙真理观不过是一种更为精致的形式主义。当然，这种站在柏拉图主义立场上的挑战要依赖于Ω猜想的成立与否。接下来我们讨论一些更新的进展，它们似乎在某种意义上暗示这个猜想是真的。

3终极L理论

Ω猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理，而且这个大基数公理超出了现有内模型计划。所谓“内模型计划”指的是构造一个类似于L的模型，在其中某个大基数公理成立。这项研究计划的动机源自于斯科特(D.Scott)的以下定理：

定理3.1(斯科特，1961)假设存在一个可测基数，则V≠L。

也就是说，哥德尔的L不能容纳可测基数，当然也不能容纳更大的基数。所以，这样的问题自然就被提了出来:

是否存在一个类似于L的模型，它能容纳可测基数或更大的基数

很快，库能(K.Kunen)证明了

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