数学论文（柏拉图主义与集合论终极宇宙） (8-4)

简单说，Vm是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊复宇宙记作V。

定义2.2(脱殊复宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称

σ是M-脱殊复宇宙真的，当且仅当它在Vm的每个模型中都真，记作VM╞σ;

是M-脱殊复宇宙假的当且仅当VM╞┐σ;

σ是M-脱殊复宇宙无意义的当且仅当Vm╞／σ并且VM╞／-σ。

特别地，如果σ在由V生成的脱殊复宇宙中为真，则称σ是脱殊复宇宙真的，记作V乍口。其他概念类似。

根据推论1.4，如果VM的每个模型都满足“W是真类”，则PD是M脱殊复宇宙真的，根据定理1.5，对任意M，CH都是脱殊复宇宙无意义的。这看起来使得脱殊复宇宙立场比形式主义更精致，也更合理。似乎也在一定程度上回应了武丁的挑战。但是，武丁又通过一系列的数学工作论证了脱殊复宇宙立场难以成立，这需要定义武丁的Ω逻辑以及Ω猜想。

回忆一下，对任给结构『？』，『？』的理论定义为：

Th(『？』)={σ|ZFC╞“『？』σ”}。

仿此，我们定义任意结构烈在脱殊复宇宙真理观下的理论为:

ThM(『？』)={σ｜╞“『？』╞σ”}

对任意语句σ，形如“对任意无穷序数α，Vα╞σ”的断言是ll2断言。事实上，脱殊复宇宙的真理概念只适用于ll2语句，这是因为我们在定义脱殊复宇宙真理概念时只允许使用集合力迫。令是最小的武丁基数，则H(时)卜σ和H(时)Fσ都是II2断言。因此，如果令

Mll2={σ｜V╞σ并且σ是II2语句}

为所有II2多字宙真语句的集合，则ThM(H(δ0+))在集合Mll2中是递归的。但是，仿照塔斯基的真理不可定义性，相反的方向应该不能成立，人们把它总结成:第一多宇宙定律

所有I2多宇宙真语句的集合Mll2在H(δ0+)的脱殊复宇宙理论ThM(H(δ0+))中不是递归的。这一定律要求不能把整个集合宇宙中的所有II2真理，更不必说所有真理，归结为集合宇宙的一个片段H(δ0+)中的真理。这是一个合理的要求，因为如果脱殊复宇宙的模型类中只有V一个模型，则以上定律是显然成立的。

称一个集合YVω是借助多宇宙在H(δ0+)中可定义的，如果Y在多宇宙模型类的每个模型中都是在H(δ0+)中可定义的。出于同样的哲学考量，还可以有:第二多宇宙定律所有II2多宇宙真语句的集合M2不是借助多宇宙能在H(δ0+)中可定义的。如果脱殊复宇宙的真理观不能满足以上两条定律，那它与形式主义在根本哲学立场上就是一致的，即:

把整个集合宇宙的真归结为这个宇宙的某个清晰片段的真。

形式主义者把集合宇宙的真理归结为ZFC的定理，也就是归结为数论中的真，而脱殊复宇宙立场则是把集合宇宙的(lI2)真理归结为H(δ0+)，全体基数不超过最小武丁基数的集合。哥德尔借用他的不完全性定理，曾对形式主义的这一立场做过令人信服的反对。[3])而武丁则同样令人信服地证明，以上形式的脱殊复宇宙立场必然违反这两个定律，所以与形式主义的真理观并无根本差别。

定义2.3(武丁，1999)假设T是集合论语言中的可数理论，σ是集合论语言中的语句，我们定义σ是T的Ω-逻辑后承，记作T╞Ωσ，当且仅当对任意完全布尔代数B，对任意序数α，如果VB╞T，则VB╞σ

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