数学论文（柏拉图主义与集合论终极宇宙） (8-3)

把所有独立于ZFC的命题都看作无意义的，这种观点有一个困难就是这些命题在认识论地位上不是完全等价的。例如，有人认为CH无意义，因为“任意实数的子集”这个概念模糊不清。但是，几乎不会有人认为“所有投影集都是可决定的(PD)”无意义，因为这其中并不涉及“任意实数子集”的概念，而只是谈论了投影集这样的具体可定义的数学对象。但PD与CH一样，是独立于ZFC的。因此，武丁(H.Woodin)向形式主义提出了如下挑战:

……(形式主义)这种立场要站得住脚，那就或者集合论中类似的不可解问题也必须被看作是无意义的，或者必须解释为什么连续统假设的问题是与那些问题不同的。我指的是那些描述集合论的经典问题，它们在连续统假设提出不久也被提了出来。([8]，第29页)这要求人们进一步仔细分析PD与CH:

定义1.1无穷基数δ是武丁基数当且仅当对任意函数f:δ→δ，存在初等嵌入j:V→M，如果κ=crt(j)，则f[κ]M并且Vj(f)(x)M。我们用

W={δ|δ是武丁基数}

表示全体武丁基数的类。

1985年武丁证明了以下定理:

定理1.2(武丁，1985)如果M是ZFC的传递模型，并且M“W是真类”，则对任意M脱殊滤G，

VM＜VM[G].

ω+1ω+1

VM＜VM[G]蕴涵着VM和VM[G]

ω+1ω+1ω+1ω+1

初等等价，因此以上定理就表明，如果存在任意大的武丁基数，则任何形如“Vω+1╞σ”这样的句子都不能用(集合)力迫的方法证明其独立性。此时我们称V11的一阶理论Th(V1)是脱殊绝对的。这一结果的意义在于，大基数公理(存在任意大武丁基数)可以给有关Th(V1)的所有问题以确定的回答。又由于PD，乃至经典描述集合论中所有有关投影集的问题都属于Th(V+1)，这也意味着在大基数公理下，它们都有确定的真值，而不再是独立的。特别地，对PD马丁和斯蒂尔(MartinandSteel)证明了:

定理13(马丁、斯蒂尔，1985)如果存在无穷多武丁基数，则PD成立。进而:

推论1.4对任意传递模型M，如果MFC+“W是真类”，则对任意M脱殊滤G，都有M[G]╞PD.

反观CH，列维(Levy)和索洛维(Solovay)1967年证明了:

定理1.5(列维、索洛维，1967)令为任意一条已知的大基数公理，假设M是ZFC的传递模型并且M╞σL，则存在M脱殊滤G和H，M[G]╞σL+CH而M[H]╞σL+┐CH。

比较推论1.4和定理15，我们看到:在PD与CH之间确实存在着带有根本意义的差别。与PD不同，大基数公理对CH的独立性无能为力。这种差别是否可以帮助形式主义回应以上挑战呢

2多宇宙真理观与9猜想

我们首先将形式主义可能的回应严格描述出来，这需要一系列的定义。

定义2.1令M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vm为满足以下条件的最小模型类:

1.M∈VM；

2.如果N∈VM，而N‘=N[G]是N的脱殊扩张，则N‘∈VM;

3.如果N∈VM，而N=N‘[G]是N‘的脱殊扩张，则N‘∈Vm。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。