数学论文（大基数公理和终极-L） (9-8)

假设k是w-巨大的，如一个序列（kn：n ＜w）所见证的那样，显然我们可以在不损失一般性的情况下假设后一个序列在HOD中，我们将这样做。 然后我们可以考虑所有形式的序数集合 j“＞其中 ＞：= sup { kn ： n E w } 对于一些序列 （n ： n E w） 具有前面描述的性质，j 是具有临界序列 （Kn ： n € w） 的基本嵌入 Vx +1＜ VA +1。其中一些序数集将成为 HOD 的成员。我们将 Ultimate - L 定义为 L 的最小扩展，包含 HOD 中此类序数集合的真类长度序列的每个成员，以这种方式从 w-巨大基数 k 获得，对于 ＞ 的每个可能值，序列中正好有一个这样的序数集合 j“A。

它将从本节的结果以及关于终极 - L 猜想的已知结果中得出，如此定义的终极 - L 实际上并不依赖于序列的选择。在这个模型中，对于每一个可能的临界序列，确实存在至少一个初等嵌入j：Vα +1 Vα +1，临界序列（Kn ： n E w）。

HOD 由嵌入部分见证 V 中某个基数的巨大性产生。模型中必要的基本嵌入可以使用与 Section 类似的参数来构造

3. 因此，这个模型仍将是一个模型，用于断言每个极限序数 α ＞0 存在一个适当的 α 类 - 巨大的卡纳尔。更清楚地看，这个内模型将满足GCH，并且很容易看到它是弱E2-可定义的，并且是HOD的子类，并且是任何在V中超紧的基数的超紧性的弱扩展模型，给定所述的大基数假设在V中成立。为了看到最后一点，有必要观察到给定所述的大基数假设，任何超紧基数必然是超巨大的，并且所有必要的 elementary12 嵌入来见证这一点确实下降到模型 Ultimate - L。我们现在必须证明，这个模型确实是本节开头所述的公理 V = 终极 - L 的模型。

显然，我们的终极 - L 版本是断言存在适当类的伍丁基数的模型。假设某个 ∑2- 句子在终极 - L 中为真，因此我们需要在终极 - L 中找到实数 A 的 univer - sally Baire 集合，使得有问题的 ∑2- 句子在 （HOD ）（ AR） N V2L（ A .从众所周知的泛型绝对性结果中，假设伍丁基数的适当类成立，足以证明这确实在某个集合中获得 - 终极 - L 的泛型扩展。因此，选择一个序数f，使得（V2）终极-L是终极-L的E2-基本子结构，并选择＜B的y，使得（Vn）Uimate - b建模∑2-句子。现在考虑 Ultimate - L 的泛型扩展，其中 A 是选择包含足够数据的通用 Baire 集合，因此，在泛型扩展中，OL （AR ）≤ B 和 （HOD ） L （A .R ） n V，在泛型扩展中等于地面模型的极限-L和V2的交集。这可以通过确保每个小于f的序数在泛型扩展中被折叠为可数，并且生成（Ultimate - LnV）V所需的小于y的序数集合的所有数据都被编码到泛贝尔集合A中，该集合在泛型扩展中显示为一组实数。在这个泛型扩展中，得到 de sired 结果，所以前面提到的泛型绝对性结果暗示它在我们的基模型中也得到。这样就完成了定理6.4的证明。

我们还应该注意，如果 V = 终极 - L，那么如果 k 是 w - 巨大的，如 （k ： i ＜ w） 所见证的，则 Vk 模拟了存在满足拉沃公理的适当类＞的断言，如第 3 节所定义，如果 k 实际上是 w - 巨大的，如 （kr ： i ＜ w ） 所见证的，则 Vro 模拟了存在一类适当的拉姆齐基数的断言。

7. CONCLUDING REMARKS

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