数学论文（大基数公理和终极-L） (9-6)

很有可能，非平凡初等嵌入 j ： Vα +2＜ Vα +2 的临界点可以证明是超 - 巨大的假设 - 取决于选择公理（但显然不是完整的选择）。然而，在下面的内容中，我们只需要使用一个较弱的陈述，它可以在没有任何形式的选择的情况下证明。

定义 5.1.假设 α 是一个极限序数，使得 α ＞0，并且 （k3：β＜@） 与基本嵌入的族 F 一起见证 k 是一个巨大的，族 F 中只有一个嵌入见证了 α - 对于每个小于 α 的有限序数序列的巨大性。假设给定任何小于 α 的序数 （B;： i ＜ w） 的 w-序列，有一个初等嵌入 j ： Vi +1 Vi +1 与临界序列 （kB ，： i ＜ w），通过将 F 中明显的 w-嵌入序列粘合在一起而获得，其中 入：= suPnew KBn ·然后基数 k 被称为 - 巨大的 *。

定义 5.2.假设基数 k 是 k - 巨大的 *。然后 k 被称为超 - 巨大的 *。

在本节中，我们希望证明以下定理。

定理 5.3.与 ZF 不一致的是存在序数 X 和非平凡初等嵌入 j ： Vi +2 Vi +2。

证明。同样的推理表明每个 I2 基数 k 都有一个正态超滤子 U 集中在超巨大基数上，在 ZF 中也表明，如果 k 是初等嵌入 VA +2＜ VA +2 的临界点，那么有一个正态超滤子 U 集中在序列 （ k 。：一个＜k），它见证了k是超的 - 巨大的*。

在[6]中，加布里埃尔·戈德堡也使用迭代坍缩强迫证明，如果这种嵌入的存在与ZF一致，那么它也与V是良可排序的一致（使用井-排序，如果m＜n和（K ： i E w）是j的临界序列，映射jn-m映射井的限制-排序为V。 对井的限制 - 订购到 V \ Vg ）。

所以假设这两个假设的合相，在ZF中，设k是嵌入的临界点，设S是前面提到的序列（kα：α ＜k）。对于每个 α ＜ k，设 E 。是 [α] w 上的等价关系，它持有两组小于 k 的序数。其元素按顺序构成两个可数无限长度的序列，当且仅当所讨论的两个序列具有相同的尾巴。有一个序列（ C .：α ＜ k） 使得对于每个 α ＜ k，Cα 是 Eα 等价类的选择集合，并且对于每个具有 ＜ B 的对 （α， B），当一个人从一个见证 k 的超巨大性的固定嵌入族中选择一个初等嵌入 j' 时，我们可以在不损失一般性的情况下选择它，使得 j'（Cα ）= CB。然后使用嵌入j可以将其扩展到选择集合（Cα：α ＜＞），这样如果一个＜B＜K，那么可以选择一个基本嵌入j'，它是见证的固定嵌入集合的一部分。

这允许人们为 [ X ]“ 上的相应等价关系 E 构造一个选择集 C”。方法如下。给定一个 X E [ X ]“，根据我们陈述的假设，对于任何给定的 n ＞0，人们可以找到一个 X'∈ V，使得 X'∈[ p ] w 对于 k1 和 k 之间的共尾性 w 的 p，以及嵌入 ex ， n ： Vp +1 Vi +1，它携带一系列超巨大的 * 基数共尾在 p 到 j 的临界序列或其尾部， 使得 ex ， n （ X'）= X 。这可以与选择集序列（C：α ＜》）一起使用，以选择X等价类的成员，取决于n。使用前面提到的不同选择集合 Cα 之间的关系，我们可以争辩说，这些数据可以以这样的方式选择：映射到 X 等价类的选定成员的函数映射实际上是最终常数，并且等价关系 E 的选择集可以通过这种方式构造。

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