数学论文（大基数公理和终极-L） (9-5)

（ 一 ）（ cof （ ON ））L （ N ）＜）， 和 Eo +1（ VA +1）= L （ NA ， N ） N Vα +2， 或

（ 二 ）（ cof （ ON ））Z（M ）＞ l 和 Eα +1（ VA +1）= L（（N）， N ） N VA +2，其中 E（N） 是初等嵌入 k ： N ＜ N 的集合。

定义 n ：= l （ u { e （ v +1）| α ＜ TV }） N V +2. 假设 cof （ ON ）＞入 和 L （ N ）≠（ HODvs + IU （ Z ） E （ M ） 对于所有 Z E N，并且进一步存在一个带有crit（J） ＜＞ 的基本嵌入 j：L （ N ） L （N）。然后我们说＞满足伍丁公理。

定理 3.3.假设 k 是 w - 巨大的，如 se - quence （ kin ： n ＜ w ） 所见证的那样。那么Vro是一个模型，用于断言有一个满足Woodin公理的X的适当类。

证明。假设定理陈述中给出的假设和符号。如果我们让 入 ：= sup { kn ： n ＜ w }，则存在一个具有临界序列 （ Kn ： n ＜ w ） 的基本嵌入 j ： Vα +1＜ Vx +1 ）。显然，它足以证明满足伍丁公理，也可以证明满足拉沃公理，假设 V = OD，ixinVie

假设一个集合序列（E（V1+1）：一个＜B）满足伍丁公理定义的要求（1）-（6），相对化为Vk，对于某些β≤电视，并定义N为Eg的唯一可能候选日期（如果存在）。超限归纳法可以证明L（j（N）UV +1） NV = L（N）NV。然后，考虑到j对这样一个N的元素的作用是由j决定的|V，并且使用w-巨大性的假设，可以通过超限诱导证明j对L（N）V的限制是L（N）nVk＜L（N）n Vk的基本嵌入，在B＜TVa + i的情况下是合适的＞：这样就完成了论证。

这完成了一个 - 巨大和超 - 巨大的基数比任何以前未知不一致的 ZFC 的边扩展具有更大的一致性强度的证明。

4. VIRTUALLY a - ENORMOUS AND HYPER - ENORMOUS CARDINALS

拉尔夫·辛德勒（Ralf Schindler）和维多利亚·吉特曼（Victoria Gitman）在[4]中引入了虚拟大基数性质的概念。给定任何大的 - 基数属性。

参考定义一个集合大小的基本嵌入j：V V3或此类嵌入的族，对应的虚大基数。

McCALLUM

属性以相同的方式定义，除了通过基本 em - 床上用品 j :(Va ）＜（ VB ） 其中 j E VG 表示 V 的集合泛型扩展。实际上是一个 - 巨大或超 - 巨大基数概念是明确的。我们将在本节中陈述一个关于几乎超 - 巨大基数的结果，并将在第 6 节后面陈述一个关于几乎 w - 巨大基数 - nals 的结果。

定理 4.1.如果 k 是一个可测基数，并且 V = HOD，则在 k 中有一个序列共尾见证 k 的虚拟超巨大性。

证明。假设临界点 K 的 j ： V ＜ M 见证了 k 的可测性。然后有一个基本嵌入j'：Ve +1Y（MNV2（）+1），它出现在M的泛型扩展中（这里使用假设V = HOD）。迭代反射产生所需的结果。

5. INCONSISTENCY OF THE CHOICELESS CARDINALS

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