数学论文（大基数公理和终极-L） (9-2)

F 见证每个小于 α 的序数有限序列的 - 巨大性。假设给定任何小于 α 的序数 （B ： i ＜ w） 的 w-序列，有一个具有临界序列 （s ，： i ＜ w 的基本嵌入 j ：V1+1V1+1），通过将 F 中明显的 w-嵌入序列粘合在一起而获得，其中 入：= 上新 KiBn ·进一步假设有一个初等嵌入 k ： V ＜ M，固定所有大于 “ 的正则基数，VCMand （ Vα +1） Vα +1;和 kVα = jV .如果 B ：= suPnew Bn ＜ α ，则设 p ：= kg ，否则设 p ：= k 。假设，每当我们有 Vi +1 SCV 和 S E L （Vα + i ）[ X ] 其中 X ：=（ e ，“8;： i ＜ n ） 对于某个有限序数 n

其中每个 e 是临界点大于 ＞ 的基本嵌入，e 的临界序列的上确界和 d 是成对非重复，和 k（S） C S，那么我们有 k（S）＜ S。如果所有这些条件满足，则基数K称为-巨大。定义 1.4.一个基数 k 使得 k 是 k - 巨大被称为超 - 巨大 .

我们很快将确定 α - 巨大基数和超巨大基数相对于 I2 是一致的。我们还将确定 - lish α - 巨大基数和超 - 巨大基数比 I0 或任何其他已知与 ZFC 不一致的先前的 - 大 - 基数公理具有更大的一致性强度。最后一节将简要讨论定义原始表述的灵感来源，这可以作为假设这些大基数与ZFC一致的一些动机，续集中证明的结果可能会为假设一致性提供一些额外的动机。

让我们首先确定极限序数 ＞0 的 α - 巨大基数和超 - 巨大基数的一致性强度严格介于 13 和 I2 之间。

2. @- 巨大基数和超巨大基数的一致性强度 定义 2.1.基数 k 被称为 I3 基数，如果它是初等嵌入 j ：V2＜V2 的临界点。I3 是断言 - 断言 I3 基数存在，I3（k ，0） 是断言第一个语句对特定的序数对 k 成立，使得 k ＜ô。 定义 2.2.基数 k 被称为 12 基数，如果它是初等嵌入的临界点 j ： V ＜ M 使得 V2 C M 其中最小序数大于 k 使得 j （0）=8.I2 是断言 I2 基数存在，I2（ k ，） 是第一个语句对特定序数对 k 成立的断言，这样K＜8。

在本节中，我们希望证明 a - 巨大基数和超巨大基数的一致性强度严格在 13 到 12 之间。

定理 2.3.假设 k 是 w - 巨大的，如 （ ki ： i ＜ w ） 所见证的那样。然后有一个正规的超滤子 U 在 ko 上，使得所有 k'＜ ko 的集合使得 I3（k'，8） 对于大约 8＜ ko，是 U 的成员。

证明。假设 k 是 w - 巨大，并且 （ k ： i € w ） 到 - gether 与某个族 F 的基本嵌入见证 k 的 w - 巨大性。可以假设在不损失一般性的情况下，F中所有具有临界点ko的嵌入都产生相同的

新的大基数公理和终极 - L 程序 5

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