数学联邦政治世界观
超小超大

数学论文(集合论的自然公理与连续体问题) (11-9)

尽管句子There存在从V到M的嵌入一阶可表达的,我们可以断言从V到某个类M的初等嵌入的存在性,只需断言可测量基数κ,它是一阶可表达的。

因此,我们得出结论,断言可测量基数存在的公理满足极大性和公平性的标准,并且是,因此,集合论的一个自然公理(模其与ZFC的一致性)。

M本身不可能是V,因为根据库宁的一个著名结果(见[17])不能有非平凡的初等嵌入j:V→ 五、M不能是L,或者,因为正如斯科特所观察到的那样(见[17]),否则我们会使得V=L,如果κ是最不可测量的,j是相关嵌入,则通过元素性,在Lj(κ)中是最不可测量的基数,因此与κ

M越大,离V越近,得到的公理就越强。

这并不奇怪,因为M越丰富,任何子结构都越丰富上界是当M本身是V时,Kunen的结果导致了不一致性。一些可能的强化如下:首先,我们可以要求M任意包含V的大的初始片段,有一个基数κ,这样对于每个序数α都有一个初等嵌入j:V→ M、 M传递,具有临界点κ和Vα⊆M。

这样的基数κ被称为强基数。如果κ很强,那么它是第κ个可测量基数。与可测量基数的情况不同,强基数κ的存在不能用κ上某个测度的存在性。然而,集合论一阶语言的公式仍然是可能的,尽管更多涉及(参见[18])。如果存在一个强基数,那么V≠L(A),用于每个集合A。特别地,V≠L(Vα),对于每个α。因此存在对于强基数,仅仅通过理想地扩展有序序列。进一步加强的措施如下:

有一个基数κ,这样对于每个序数α都有一个初等嵌入j:V→ M、 M传递,具有临界点κ和αM⊆M这样的κ被称为超压缩基数。如果κ是超压缩的,那么它是坚强的就一致性而言,超压缩基数的存在是非常重要的比强大基数的存在更强大。许多其他变体进一步的强化是可能的(参见[18]),产生更强大的公理。它们在描述集理论中的重要作用是Woodin基数,在强和超压缩基数。

我们已经注意到这类公理的上限由Kunen关于不可能存在非平凡初等嵌入j:V的证明给出→ 五、但通过将这两种迄今为止考虑的V的理想扩张,即序数的扩张序列和V的初等嵌入到一些传递类中的存在性,我们可以要求一些非平凡初等的存在性嵌入j:Vα→ Vα,对于某些α。事实证明强公理,尽管到目前为止还没有从中推导出不一致性。

但这个公理确实满足了极大性和公平性两个标准,因此,模其一致性,是集合论的一个自然公理。

与强无穷大公理一样,在大公理的情况下大基数们,一旦我们被引导去接受某个大基数,通过应用最大性原则,我们自然会被引导到接受一类(静止的)适当的它们。

让我们停止讨论大基数的公理,因为上面的例子对于我们目前的目的是足够的。我们只是想说明通常的大基数公理不是别的但自然公理——它们满足最大性和公平性——一个人通过断言这些的存在而获得存在于V的理想扩张中的集合有序序列或通过将V视为嵌入在更大的宇宙中具有相同的序数,但实际上是V的一个子类。一直以来反复论证了一个显著的事实,即大基数公理尽管最初引入它们的动机不同显示为属于线性有序的层次结构,赋予它们自然性和有助于它们作为集合论的附加公理的正当性。但是这个是一种误导性的观点。事实上大型基数公理属于线性层次,因为这是直接的它们等同于更强的反射原理的结果从宇宙的理想膨胀到V。在任何方面都有什么了不起的案例,是将它们描述为反射原理的结果,因此揭示了他们的真实本性。

  

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