数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (11-8)

1.-无法描述，如果无法访问。最小这个性质的加强产生了π1

1.-难以形容的红衣主教。π1

1-不可描述基数也称为弱紧致基数。每一个弱紧基数κis Mahlo及其下的Mahlo基数集κ是静止的。

最重要的是那些无法形容的大基数。即。，κ是完全不可描述的，如果对于每一个A⊆Vκ和每一个句子复杂度和任何阶，在hVκ，∈，Ai中成立hVλ，∈，AåVλi，λ＜κ。

完全不可描述的基数似乎是通过考虑序数序列的理想扩展而获得的V的反射性质在扩展方向上的终点。我们可能有一个完全固定的类无法形容的基数，但似乎不可能有更强烈的反思形式。

可以证明，如果到目前为止考虑的大基数公理是与ZFC一致，那么它们也与ZFC加V一致=L.这并不奇怪，因为这些公理产生时没有做出任何公理关于ZFC之外的V的结构的假设，以及我们所知道的V可能只是L。

4.2.大基数公理。通过考虑V的另一种理想扩展，我们得到了更强的公理。即使V包含所有集合，我们可以认为V包含在一个更大的传递宇宙M中与V相同的序数，因此M比V大，因为每个序数α，Vα都包含在Mα中，对于某些α，因此也适用于所有序数大于α–包含是适当的。根据公平标准，我们想说，每个∑1句子，可能有V中的参数，在M中成立，在V中已经成立。但这是不可能的。

与M不同的传递真类V不可能是M的∑1-初等子结构。原因是如果是这样的话，那么Mα=Vα，对于所有的α，与M比V胖的假设相矛盾。问题这是双重的。一方面，我们假设M包含一些不包含属于V，同时具有相同的序数。另一方面，我们允许∑1语句中的任意参数。但还有一个更基本的问题：在考虑包含相同序数的V的理想扩展时，我们只是不知道M中存在但不存在的理想集是什么在V中。在无穷大的强公理的情况下，当我们考虑理想时扩展，其中序数扩展到V的所有序数之外，我们知道新集合可能是什么样的，即构建的可构造集合在理想有序阶段。但在目前的情况下V和M是相同的，V包含在M中，我们只是没有关于M中的理想集可能是什么的任何线索。换句话说，对于我们所有人来说知道V，因此M，可能只是L。

解决这个困难的一个可能的方法是将M作为V的子类，因此实际上没有新的集合，但仍然将V视为正确包含在M中。如果我们认为V嵌入到M中，这是可能的我们可以假设M是可传递的。所以，假设M是一个传递类，并且存在一个嵌入j:V→ M不是恒等式和是∑1-初等的，即，对于每一个∑1句子，ξ（x1，…，xn），并且每a1。。。，一Γ（a1，…，an）iff M|=Γ（j（a1）。。。，j（an））。

则存在一个最小基数使得j（κ）≠κ、 称为jκ是第一个序数，其中j00V和M开始不同。事实上，我们已经κ是同一性。这样的基数是可测量的，即存在κ上的两值κ-完备测度U，即U＝{X⊆κ：κ∈j（X）}。在里面，事实上，可测量基数的存在等价于∑1-初等嵌入，与恒等式不同，V嵌入到传递函数中M类是超幂Vκ，嵌入由j（x）=π（[cx]U）给出，其中cx:κ→ {x} 是常数函数x和π是Mostowski传递坍缩函数。

如果κ是一个可测量的基数，那么它是第κ个不可访问的基数。

然而，它甚至不需要是∑2-反射的。

事实证明，如果j:V→ M是∑1-初等的，则它是完全初等的，即，对于每个公式ξ（x1，…，xn）和每个a1。。。，一Γ（a1，…，an）iff M|=Γ（j（a1）。。。，j（an））。

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