数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (11-7)

满足上述（1）或（2）的正则基数是不可访问的。因此，根据根据我们的标准，不可接近基数的存在是一个自然公理集合论。如果我们想继续，再多走一步构造V，我们被迫接受一个不可接近的存在大基数无法接近的基数的存在是第一个基本公理。

不能在ZFC中证明不可访问基数的存在性，因为如果κ是不可访问的，则Vκ是ZFC的模型。因此，ZFC的一致性不能暗示ZFC的一致性加上不可访问的大基数断言存在无法接近的大基数的句子κ、 与其他所有大型基本公理一样，具有比ZFC。因此，它的基本性质不能满足一致性标准

形式，但它当然平凡地满足它模大基数。确实如此

然而，满足一类∑1公式，其参数为Vκ=Hκ。

下一步是考虑∑2句子的类别，即，假设κ是不可访问的，并且Vκ≺2 V，即它反映了所有带参数的∑2句子。那么κ是不可访问的基数，无法访问的基数的限制，等等。

更一般地说，对于每个n，可以考虑正则基数κ使得Vκn V，这样的基数被称为n-反射。断言存在的公理n个反映基数确实满足极大性和公平性的标准。

但如果n

注意，由于对于n

对于每个n，句子：存在一个反映基数的n，可以是作为一个一阶句子写的。然而，根据Tarski关于真理是不可辩驳的，不可能有一个可定义的κ，使得Vκ反映所有句子。此外，这句话：存在一个反映所有∑n个句子，所有n个，甚至不能用一阶语言写成集合论。

我们得出结论，所有形式的句子的集合：存在n-反映基数，n是整数，形成自然公理的递归集合集合论的（模化其与ZFC的一致性）。事实上论点，并遵循最大性原则，我们被引导到作为自然递归公理集的接受形式：存在一个适当的n-反射基数类，n是一个整数（模化其与ZFC的一致性）。

马赫洛枢机主教强化了不可接近的概念：

κ是Mahlo基数，如果它是正则的并且是不可访问基数的集合κ以下是平稳的，即κ的每个闭子集和无界子集都包含难以接近的大基数。注意，由于不可访问的基数是规则的，我们不能指望在κ以下有一个无法接近的基数Club，但我们可能会有下一个最好的东西，那就是一组静止的它们。这是根据最大性原理的自然假设。要点是的，在ZFC中可以证明，V中的每一个句子Vα的Club类。因此，应该有一个不可访问的基数κ，这样Vκ满足ξ。一旦不可访问基数的存在被接受，我们也应该接受他们中有尽可能多的人，而这意思是它们的一个固定类。

一个Mahlo基数κ是不可访问的，在Vκ中有一个静止的一类∑ω-反映基数，即∑n-反映每个n。注意κ是Mahlo iffκ是正则的，Vκ|=ZF C，并且正则集λ＜κ使得Vλ|=ZF C是静止的。因此，曾经不可访问的基数和反射基数被接受，Mahlo基数是扩展所有集合的宇宙的反射性质的过程。

通过允许高阶公式，可以得到所谓的不可描述基数，根据复杂性和顺序形成层次结构所反映的公式中：κ是∑mn-不可描述（πmn-不可描述）如果用于每个A⊆Vκ和每个∑mn-句子（πmn-句子）ξ，如果hVκ，∈，Ai|=Γ，则存在λ＜κ使得hVλ，∈，A∈Vλi|=Γ。

κ是∑1

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