数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (11-6)

因此，一个公平的存在句类将是∑n类之一参数在一些Vα，α是序数，或一些Hκ，κ是基数。类别高阶公式，如∑mn，或者与一些无穷大逻辑有关的公式也可以被考虑。此外，语言也可以是通过允许新的常量或谓词等进行扩展。

最后，还有成功的标准。如前所述主要用途是评估通过以下方式找到的公理其他标准。一个新的公理不仅应该是自然的，而且应该也很有用。现在，有用性可以用不同的方式来衡量，但有用的新公理必须至少能够决定一些自然问题ZFC尚未决定。此外，如果新的公理提供了一个更清晰的集合论宇宙的图片，或为模糊区域提供新的线索，或者为已知结果提供新的更简单的证明，那么就更好了。

总之，一旦我们就V的理想扩展达成一致应考虑同时应用上述三个标准（一致性、最大性和公平性），关键问题变成：

找到存在句的（最大可能的）公平类∑，使得断言∑中的所有句子都保持在理想扩展中的原理are true可以在集合论的一阶语言，与ZFC是一致的。

一旦找到这样一个原则，我们就可以合理地认为它构成了集合论的一个自然公理。就存在而言，它作为一条新的公理而存在集合论者所接受和使用的，将在很大程度上由它的成功。

我们现在将在大型基本公理的情况下检验我们的标准。

4.大基数公理的自然性

无论我们对现存的东西有什么理论，都应该是与我们对我们的理论的理解相一致现存事物的总和应该是一个集合。

莱因哈特（[27]）

大基数公理可分为两类：强公理

无穷大的，以及从V到可传递真类的初等嵌入中产生的大基数公理，即可测量基数和在上面

4.1.无穷大的强公理。无穷大的强公理起源于当我们考虑所有集合的宇宙V的理想扩展时，如给定的通过ZFC，其中所有序数的超限序列，因此功率设置操作）被进一步继续。在这个理想的扩展中，V中所有序数的类ORV将是序数κ，V本身将是一套。因此，我们假设V实际上是一个更大的使得Vκ|=ZF C。

我们可以引入新的公理，说明给定公平类中的句子∑反射到Vκ。这些公理，即使它们满足我们的标准，他们可能没有任何大的基本力量，他们的后果可能相当贫穷。例如，断言Vκ满足ZFC的公理并且反映了∑n的所有句子，对于某些固定的n，从存在开始关于一类平稳的序数α，使得Vα满足ZFC，一个原理它没有大的基数强度，并且与可施工性。

通过要求κ是普通大基数。注意，如果Vκ是ZFC的模型，那么h Vκ，∈，κi|=“κ是一位普通的大基数”。但是κ甚至不需要是V中的基数。要求κ是V中的正则基数，相当于要求Vκ满足二阶替换Axiom的位。即全部更换域中序数小于κ的函数和κ中的值，需要在Vκ中不可定义。事实证明，由于Vκ|=ZF C，满足二阶置换位意味着Vκ满足全二阶置换公理。这种形式的外延置换正是G模型的扩展性原则的内容，我们已经在上一节中讨论过了；我们在最大性标准。

现在，对于κa正则基数，以下是等价的：

（1） Vκ|=ZF C

（2） Vκ≺∑1 V

即，Vκ反映了所有带参数的∑1句子，这意味着对于每a1。。。，ak∈Vκ和每一个∑1-公式ξ（x1，…，xk），Vκ|=Γ（a1，…，ak）iffΓ（a1，…，ak）。

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