数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (11-4)

G¨odel当然认为这是理所当然的。新的公理在为了将集合形成的运算扩展到ZFC，他们应该采取反思原则的形式，他们应该暗示宇宙中所有集合的某种一致性，它们应该都是其结果始终如一且富有成果。

在下一节中，我们将讨论并尝试进一步澄清这些标准，以便它们可以实际应用于测试和搜索for–新的公理。我们认为，所有标准基本上都可以简化为两个：

最大性和公平性。始终如一与成功相辅相成角色，第一个作为调节器，第二个作为价值的最终测试。全部的。

总之，这些标准可以被视为试图定义什么是集合论的自然公理实际上意味着。它们也可以被查看作为对必要性或非任意性的检验，因为任何集合论陈述，如果我们希望扩展ZFC。

3.集合论的元公理

我们正在寻找扩展ZFC的集合论的附加公理，也就是说，对于一阶中的一个句子（或递归句子集）集合论的语言。这样的句子应该满足什么标准为了被认为是公理？

第一个标准当然是一致性。我们想要新的公理以与ZFC一致。显然，根据G模型的第二个不完全性定理，我们只能希望得到相对一致性的证明。也就是说，我们应该能够证明如果ZFC是一致的，那么ZFC加上新的公理。有许多不兼容的例子，例如CON（ZF C）和CON（ZF C）、可构性公理或其否定、连续统假说或其否定，Suslin假说或其否认等。

因此，一致性不能成为唯一的标准。此外，我们还应该接受其一致性（模ZFC）不能在ZFC中被证明，一致性，比ZFC更强，但仍然满足其他标准。因此，一致性标准只能起到调节作用在寻找和证明新公理方面。它使关节受到约束其他标准的作用。一个集合论原理可以显示为与ZFC一致，不会自动使其公理。但与ZFC的一致性无疑是一个必要的要求。

此外，如果新公理被证明是模某个大基数假设的一致性，那么这样一个大基数的一致性必须遵循ZFC加上新公理，从而证明其对于新公理的必要性公理的一致性证明。

第二个标准是极大性。也就是说公理断言存在越好。G¨odel已经声明：。。。只有一个极大性似乎与集合的概念相协调。。（参见[13] ）。最大化的想法得到了许多人的辩护P.Maddy（参见[21]和[22]）在上下文中进行了广泛讨论她的自然主义哲学集合论。最大性标准通常用于提供拒绝Axiom的理由可构建性，但在这里我们打算系统地应用它作为指导寻找新公理的标准。

所有大基数公理和所有强制公理都满足极大性标准，在微弱的意义上，它们都暗示着新集合的存在。

因此，在这种普遍性中，这显然是一个过于模糊的标准，因此绝对没用。因为如果ZFC是一致的，那么我们可以很容易地找到一致的语句，模ZFC，并断言一些新的集合，但不兼容。以CON（ZF C）为例，它断言ZFC模型的存在，以及CON（ZF C）断言存在来自ZF C的矛盾的（非标准的）证明。

为了获得更具体和有用的形式的极大性标准在模型方面考虑最大化将是方便的。即假设V是ZFC给出的所有集合的宇宙，并将V视为被适当地包含在一个理想的更大的宇宙W中，它也满足ZFC，当然包含一些不属于V的集合——它可能甚至包含V本身作为一个集合——因此，它的存在不可能是仅在ZFC中证明。现在，新的公理应该意味着存在于W中的集合已经存在于V中，即一些存在陈述在W中保持的也在V中保持。由于V中的集合已经给定，我们可以以及允许存在语句具有V中的参数。因此最大性导致反思原则，即存在性陈述保持在理想扩展W中的（具有参数）反射到V。

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