数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (11-3)

许多伍丁枢机加上一个比所有枢机都大的可测量枢机足够了，而且，无限多的Woodin基数获得PD所必需的（参见[37]和[34]）。正如在70年代通过描述集理论取得的惊人进展，在PD的假设下，这一原则似乎是正确的，发展了实数投影集理论。事实上，PD射影集的一个基本完整的理论。此外，任何已知的集合论原理至少是PD的一致性强度——例如，适当强迫公理——暗示了PD，这有力地表明了它必然性大型基数公理的结果性进一步体现在它们在无穷组合数学中的众多结果（参见[18]）。现在显然，许多可取的结果，不仅在集合论中，而且在应用集合论方法的所有数学领域中，遵循大型基本假设。因此，强大的大型基本原则在硕果累累的标准下做得很好。但这足以接受它们作为集合论的公理？这可能是为了生成无数的伍丁基数，因为他们已经被证明是两者充分而必要地得到PD，从而产生了一个丰富而优雅的实数投影集理论，该理论扩展了经典ZFC描述集理论的定理。对于更强的大型基本原理，情况就不那么明朗了。接受大型基数公理的主要问题是它们的一致性。毕竟，一些大的基本原则被证明是不一致的，因此被拒绝。尽管如此所谓的内部模型程序，它试图建立规范模型对于大型基数，开发了非常复杂的显示方法至少对于大到无限多的Woodin基数来说，人们可以构建具有完善精细结构的规范内部模型，从而建立对其一致性的信心。所以，尽管意见分歧，我们可以公平地说，这是一个普遍的信念大型基本原理应被接受为集合公理的理论家理论前提是有一个足够完善的内部模型理论为他们。这已经是无限多的Woodin基数的情况了，但是目前还没有开发出这样的内部模型理论，例如超压缩大基数。

但正如前面所指出的，尽管他们非凡的成功不足以解决康托尔的连续体问题。因此，在没有任何进一步直观明显的公理的情况下，问题是，是否还有其他类型的公理是非轨道的，如果可能的话，也满足结果性标准。

尽管公理的价值最终将由其成功，成功的标准很难足以接受新的公理它只能用于评估公理的后验价值，这必须根据其他标准来找到。

H.王在[35]和后来的[36]第8.7节中引用了G¨odel 1972年的话回答了集合论中引入新公理的原则应该是什么的问题。根据G模型五个这样的原则：直觉范围，封闭原则，反射原则、外延和一致性。第一，直觉范围，是直觉集合形成的原理，它体现在ZFC中公理。封闭性原则可以归入Re原则-反射，可以概括如下：所有集合的宇宙V不能通过任何合理逻辑中可表达的任何性质来唯一地表征，即，与所有初始段区分开来成员关系。这个原理的一个弱形式是ZFC可证明Montague和Levy的反射定理（参见[18]）：

集合论一阶语言中的任何句子在V中成立在一些Vα中也成立。

G模型的反射原理正是将这个定理推广到高阶逻辑、无穷大逻辑等。

外延化原理断言V满足外延置换公理的形式，引入它是为了证明无法访问的基数的存在。我们将在下一节中解释其作用部分一致性原理断言宇宙V是一致的，在感觉它的结构在任何地方都是相似的。用G¨odel的话来说（[36]，8.7.5）：

同样或类似的情况一次又一次地出现（也许在更复杂的版本中）。他还说，这个原则也可能是称为宇宙比例原则，类似于小基数的性质会产生大基数。G模型声称这一原则使得引入可衡量或强紧基数，只要这些大基数概念通过将ω的一些性质推广到不可数基数得到。

因此，在G模型之后，在寻找ZFC之外的新公理时，我们是以必要性、成功性、反思性、广泛性和一致性的标准为指导，我们应该在这些标准上加上一致性的。

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