数学论文（集合论的自然公理与连续体问题） (11-2)

集合论的自然公理应该算什么？当然关于集合的任何直观明显的事实。在这里，我们将理所当然地认为ZF公理就是这样的。在这方面几乎没有分歧指向至于选择公理，一些数学家不愿意完全接受它，更多的是因为它的一些反直觉后果，而不是它在其他方面非常自然的性质（然而，见[16]）。这是一个事实，没有其他普遍的（或几乎普遍的）已经提出了被公认为关于集合的直观显而易见的原理，也许除了存在小的、大的基数之外，就像无法接近的大基数一样。

如果我们接受关于集合的直观显而易见的事实是集合论原理被视为公理的必要条件，那么除了ZF（或ZFC）公理之外，没有其他公理，也许还有一些大小基数存在公理应该被接受。所以，如果我们为了寻找更多的公理，我们应该首先努力提高我们的直觉关于集合，直到我们被迫直观地接受一些新原理显而易见，或者至少在直觉上是合理的。虽然这是先验可能的，发现这样一个新的。原则上，这种方法至少有两个实际困难。

首先，众所周知，直觉很容易与熟悉混淆。因为无论我们有什么原则，我们最终都不会找到合理的使用了很长时间？我们是否急于欢迎我们投入了大量时间的任何原则成为一条新的公理和努力，毫无疑问，我们为此培养了强烈的直觉？

其次，原则上，不相容的直观合理的原则可能是建立是什么阻止了集合论直觉发展成几个不可调和的方式？可以回答的是，如果是这样的话，那么所有越好，因为我们会有几个不同的集合论，它们都是建立在直觉上，尽管每个人都有不同的直觉。如果是这样的话，那就这样吧。但我们会看到，除了直觉之外，还有其他标准可以被成功地用来寻找新的公理。

在他的论文《什么是康托的连续体问题？》？（[12]，[13]），G模型考虑了接受集合论新公理的两个标准。一是必要性还是非任意性。他用这个标准来证明无法访问的基数的存在。如果我们想扩大业务集合形成超出ZFC中可证明的，那么我们被迫假定存在一个不可接近的基数（参见我们对此的讨论下文第4节中的要点）。因此，一个无法接近的大基数的存在是一个必要的、非任意的假设，用于进一步扩展活动注意，不可访问的存在的假设基数类似于从ZF无穷开始的情况（即Zermelo-Frenkel集理论减去无穷大公理），我们假定存在一个无穷集。事实上，无论我们如何扩展ZF无穷公理通过断言新集合的存在，我们被迫断言无限集的存在，因此，在这个意义上，ZF是必要的，ZF无穷大的非任意扩展。一旦一个不可访问基数的存在被接受，那么自然就会导致这个基数的迭代原则，从而导致超可访问基数，甚至更高。但是可以更大的基数在必要性标准下是合理的吗？在什么意义上，如果有，可测量的基数是必要的吗？我们将回到这个问题上来。

G模型在[12]中使用的第二个接受公理的标准集合论原则的成功，即其结果的丰硕。这一标准是作为必要性或非任意性。经过半个多世纪对大型基数的持续研究，特别是自从发现大型基数之间的联系以来基数和确定性在80年代，可以说，大基数的存在，至少达到Woodin基数，应该被接受作为集合论的公理。事实上，Martin和Steel[25]证明了投影确定性的公理（PD），以及事实公理ADL（R），断言所有实数集都是可定义的form根据大基数的公理，确定了作为参数的序数和实数。Woodin证明了无限的存在。

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