V-Logic (7-3)

由Hamkins和Reitz[Rei06，Rei，Ham05]引入的Ground Axiom是集合论的宇宙不是任何内部模型的非平凡的集强迫扩展的断言。

即，GroundAxiom断言，如果ω是宇宙

V的内部模型，且G对于非平凡强迫是ω-generic，则ω[G]=V。

例如，在可构造宇宙L中，在模型L[0#]中，在可测基数的内部模型L[μ]中，在大多数情况下，在核心模型K中以及在集合论的许多其它正则模型中。

然而，令人惊讶的是，Ground Axiom并不在所有的正则内部模型中成立，因为Schindler已经观察到一个Woodin基数的最小模型M1是其迭代之一的强制扩展(也见下面的定理4)。

尽管GroundAxiom断言具有初步的二阶性质--毕竟，它量化了宇宙的所有内部模型--GroundAxiom实际上是集合论语言中的一阶表达。Reitz[Rei06，Rei]证明了这一点，并在Woodin的文章附录[Woo]中独立地隐含了这一点。

这些论点分别依赖于Laver[Lav]最近的工作，利用Hamkins[Ham03]的方法，以及Woodin[Woo]的独立工作，证明了集合论W的任何模型在其所有集强制扩张ω[G]中都是一阶可定义为一类的。

使用ω中的参数。

由于定义是统一的，因此可以通过量化在该定义中使用的可能参数来有效地量化V的可能地面模型。

Reitz[Rei06，Rei]识别参数的一阶属性，从而允许其成功地定义地面模型。

当然，在任何非平凡集强制之后，Ground公理失败，Reitz观察到它在某些非平凡类强制迭代之后仍然可以成立。

例如，McAloon[McA71]和其他人很久以前就展示了如何强制2000数学主题分类的强版本。

03E35、03E45、03E55。

关键词和短语，强迫，基性公理，序数可定义性，V=hod.我们注意到本文作者组成了三代数学：Reitz是Hamkins的研究生，Reitz是Woodin的研究生。

14L上强迫Souslin树改变自同构塔的高度（Changing the Heights ofAutomorphism Towers by Forcing withSouslin Trees over L）我们证明了在可构造宇宙中存在群，群的自同构塔通过强迫是高度可延展的。

这是这样一个事实的结果，即在合适的菱形假设下，存在足够多的高刚性非同构Souslin树，其同构关系可以通过强制精确控制。

15集合论真理的证据HYPERUNIVERSE计划（EVIDENCEFOR SET-THEORETICTRUTH AND THEHYPERUNIVERSEPROGRAMME）。

⑧在广义多元宇宙中上下移动（Moving Up and Down in the GenericMultiverse）我们简要介绍了一般多元宇宙的模态逻辑。

是一个双模态逻辑，运算符与关系“是一个强制”相对应。

“and”的扩展是“and”的基础模型。

被称为强迫的模态逻辑，我们在早期的工作中研究过。

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