V-Logic (7-2)

《纪念休·伍丁60岁诞辰的论文集》，《当代数学》，美国数学学会，普罗维登斯出版社，第2页。

本文的目的是利用集合论自然主义的解释框架来考察她的担忧。

我首先区分了“多元主义”的三种主要形式，然后继续分析麦蒂的关注。

除其他事项外，我考虑了多元宇宙相关数学的突出方面，特别是集合论中的研究项目，其中多元宇宙的使用似乎是至关重要的，并展示了如何根据对“多元宇宙实践”的仔细分析，对Maddy的关注做出回应。

④多元宇宙理论中柏拉图主义的消解（Abolishing Platonism in MultiverseTheories）至少在过去二十年中，数学基础中争论的一个问题是，通过依赖于除单个集合论宇宙之外的多个集合论宇宙的存在，是否可以合理地论证处理不可判定的数学问题

(例如，连续体假设(CH))的优点，即，与集合的累积层次相关联的众所周知的集合理论宇宙V。

多重宇宙的方法有一些不同版本的多重宇宙的一般概念，但我的意图是主要解决本体论的多重宇宙，例如，Hamkins或Vätänen所提倡的，正是因为他们宣称，在一个或另一个程度上，本体论的关注，以引入各自的多重宇宙理论。

同时，考虑到Woodin和Steel的多元宇宙版本，我提出了一个反对多元宇宙论的论点，并在一定程度上反对数学基础中的柏拉图主义，主要是基于主观基础，同时关注Clarke-Doane对Benacerraf挑战的关注。

我注意到，尽管这篇论文是在反对多元论的技术上构建起来的，但不可忽视的哲学部分在一定程度上受到了现象学观点的影响。

11集合论的点态可定义模型PointwiseDefinable Models of Set Theory逐点可定义模型是指其中每个对象都可定义，而在集合论的模型中，这个性质加强了V=HOD，但是不是一阶可表达的。

然而，如果ZFC是一致的，那么连续化ZFC的多个逐点可定义模型。

如果有传递式 ZFC模型，则存在连续体多个逐点可定义传递此外，ZFC的每个可数模型都有一个类强制可逐点定义的扩展。

本文认为，Godel-Bernay集合论的每个可数模型都有一个逐点的可定义扩展，其中每个集合和类都是一阶可定义的没有参数。

12多重宇宙公理的自然模型（ANatural Model of the MultiverseAxioms）如果ZFC是一致的，那么可计数的集合可计算地饱和 ZFC模型满足Hamkins提出的所有多重宇宙公理。

13接地公理与V=HOD一致（Theground axiom is consistent with V=HOD）基础公理认为，宇宙不是任何内部模型的非平凡集强迫扩展。

尽管这个断言具有明显的二阶性质，但它在集合论中是一阶可表达的。

以往已知的Ground Axiom模型都满足V=hod的强形式。

在本文中，我们证明了Ground公理与V=hod是相对一致的，事实上，ZFC的每个模型都有一个类强制扩张，即ZFC+ga+V=hod的模型。　

该方法适用于大基数：例如，每个具有超紧基数的ZFC模型都有一个类强制扩展，其中ZFC+ga+V=hod保留了超紧基数。

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