数学论文（关于任意集和ZFC） (9-4)

我想捍卫的论点如下。AC是随之而来的公理最接近于捕获任意集的思想，但它没有捕获这是一个完整的想法，而且它只是相对而言。它只是相对于隐含的假设在AC指定的宇宙中给定了一些任意集在某种程度上强制准组合主义的一个条件。这个读者很快就会承认，这只是相对于这样一个假设AC变得可疑。给定一个集合族F，该公理给我们一个选择集C；对于不可避免地使用的公理集合S∈F是完全任意的，因此不能有定义条件；或者集合F本身以任意方式收集可定义集合S，使得S∈F中属于C的元素不存在一致条件被拥有；或者同时使用这两种方法。注意使用的任意性AC不可避免是预设的；它必须影响家族F或（一些的）其元件S或两者。

让公理的批评者感到困扰的是，选择集C会被“任意决定”，这对他们来说，自从他们采用某种形式的可定义性（不是拟组合主义），意味着C具有根本没有确定。由于他们主要讨论R的情况，这件事似乎很清楚，因为R作为一个整体给出的假设上述假设是明确的。令批评者感到困扰的是有条件的AC的规定引入了任意性，但请注意，这是一个准组合主义的相对形式。

再一次，AC对L是真的这一事实几乎不重要，因为在将V承包给L时，我们确实消除了任意性的背景假设。

（记住，拉姆齐基数的存在意味着L只有可计数的许多实数，以及第4节中提到的其他类似结果。）让我还建议，从一开始，AC就是理论性的在L中有证据表明可构造性猜想的限制性太强，因为AC在的背景下被证明是不可或缺的简单原因分析也就是说，在假设宇宙确实包括一些不可定义的集合，例如不可定义实数（任意自然数的集合）、实数的集合等等。

在准组合主义的假设下，尽管可能很模糊集合的宇宙比L更丰富，并且包含不可定义的集合。在这样一个在更丰富的宇宙中，AC被不可或缺地用于处理任意集。但是重点仍然是，宇宙的这种“更丰富”并没有被公理，超越了AC提出的条件要求明确的我们认为可构性不是一个自然公理，因为它与拟组合理想相矛盾，因此我们的目标是更丰富的宇宙，但我们一直无法制定出低级的公理进一步说明丰富性。

§8.结论。40年前，Mostowski提出集合的概念“太模糊了，不能让我们决定选择公理以及连续体假说是真是假”（Mostowski[1967，p.89]）。

本着这种精神，许多逻辑学家愿意放弃AC，与与之相矛盾的假设。然而，我认为Axiom选择是集合论的一个关键组成部分，以免人们放弃对任意集（拟组合主义）。因此，AC的状态为与连续统假说完全不同——当然，这是实践中的情况，但我认为应该这样原则性理由。集合的概念足够严密，可以提供一个清晰的AC的动机，同时，它可能太模糊了，无法解决CH。在集合论中消除AC意味着朝着一个高度偏离的方向发展由Dedekind，Cantor，Zermelo开创的集合论。

即使集合论和现代数学的柏拉图主义在概念上和方法上都是可以接受的，就像我一样倾向于思考，我们能否以及在多大程度上做到这一点是另一回事希望具体化并使之处于公理化的控制之下任意集合。上述讨论提供了强有力的理由相信ZFC是一个太差的公理系统，相对于-`相对于其布局的动机允许“一切可能”任意集的拟组合理论任何给定集合的子集。我们已经找到了怀疑这个想法的理由任意集合是不可能确定的。

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