数学论文（关于任意集和ZFC） (9-3)

然而，考虑到我们构建“可定义”概念的方式在第1节中设置“，那么多已经包含在可定义的部分中。像我们在那里指出（第1.2节，脚注）可定义与任意的二分法是三分法：可预测定义集合，不可定义的集合，任意集合。我必须打开这个三分法是否有助于更详细地分析主题。

任意集合只是“其余的所有集合”。这个休息是非空的我们只有无数的形式谓词这一事实证明了这一点在所考虑的语言中——这与不精确性问题无关。因此，分离只能为我们提供无数N的子集，并且Cantor定理建立了不存在的子集的存在性由Separation给出。这里的事实，康托定理是一个间接的结果是至关重要的：我的主张与“对角集”这一事实并不矛盾在证明中使用的是通过上诉分离公理引入的。

请注意，分离的使用取决于最初的假设我们得到了一个集合的α序列，其中α是一些序数（就在上面）。

还要注意，我们在证明中读到了准组合思想，通过假设这个α-序列的元素是任意集的可能性。

在证明的实践中，思想与公式之间的相互作用变得特别微妙——这不是纯粹的形式所能捕捉到的系统。

§7.关于ZFC中的任意集：选择子集。那些接受了分离和幂集都没有包含准组合理想的观点的读者应该倾向于认为公理Choice在其合并过程中发挥着核心作用。我们已经强调1905年左右，AC的问题产生于无限集的想法应该也只能由一个概念来决定，即从阻力到准组合主义，Bernays评论说Choice是准组合思想的“直接应用”。

7.1.长期以来，AC在某些情况下是不可或缺的。井序等价于公理系统ZF中的AC，因此是Zorn引理，或者在拓扑中是Tychonoff定理。涉及AC的公理依赖性研究的早期里程碑是的工作Sierpinski，他在1918年发表了一篇长篇论文，详细阐述了在分析中确实很常见从收敛到的（可计数的多个）嵌套域的序列中提取一个点，一系列的点；AC只是这个过程的一个概括。

一个有趣但鲜为人知的事实是，AC并非源自泽梅洛本人，而是由函数分析这说明公理起源于分析和不是纯粹的集合论。

AC的必要使用恰好发生在无限多的情况下假设集合是给定的，其中可能有任意集合，以及需要一组相应的元素。罗素的著名例证的公理，与无限套公式，与定理，正是针对强调当可以指定形式谓词时，AC是不必要的那就是“做选择”。当公理被不可或缺地使用时，它提供了目前可用的准组合主义的最佳例子（见第3节）。

数学理论的发展通常对数学家来说是不透明的——至少当理论是一定程度的复杂性。事实可能已经证明，AC的采用足以公理化地捕捉组合的全部思想最大化（这将是一个幸运的事故，但过去的例子可能可以找到这样的东西）。反思和事后来看似乎情况正好相反，人们想知道准组合主义是否会被形式系统所捕获。

7.2.与我刚才对AC的分析相反，人们可以回答说，由于公理在可构造的宇宙中是有效的，它没有捕获任何任意集的概念。然而，AC在假设下的有效性可构造性的（V=L）不构成反对AC的论点捕捉一些组合最大性。事实上，AC在可构建的宇宙是对通过可构造性形成集合（L的薄的证据已经在第4）节中进行了审查，并且AC对L是正确的，因为整个可构造的宇宙是有序的——因为它的集合是有序可定义的通过表语句子。可构造性严格强于公理选择，在公理系统ZF中；我们刚刚注意到这意味着全球选择。

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