数学论文（关于任意集和ZFC） (9-2)

请注意，在这里求助于二阶逻辑毫无帮助。ZFC的二阶版本只能排除非预期型号，前提是二阶量词被赋予了特殊的意义。这很难这个问题通常被淡化，说这个特殊的含义是“二阶逻辑的“标准语义”。修辞效果明显，但理论原理并非如此：如果我们建立一个二阶系统单独来看，Henkin语义与首选语义一样自然，或者更自然。“标准”语义是首选，因为它这与我们偏好的集合论观点一致，也就是说，与拟组合论观点一致。但正式的制度本身无法胜任这项工作。和如果我们的解决方案是求助于意义，我们不妨阅读一阶公理系统的意向意义在采用ZFC的二阶版本的过程中，形式系统思想以一种不清晰的方式纠缠在一起。严格来说，那此举不尊重形式化的游戏规则，导致我们超越形式逻辑。这在正常的数学工作中是可以接受的，不管怎样，一个人预设了一个“标准”集合理论，但不是在上下文中一阶幂集太过简单，无法完成工作，而“标准”二阶版本这引出了一个问题，因为它预设了任意集的概念是明确、透明。

明确集合存在的原理是集合论的工作，尤其是那些与无穷集的存在有关的原理。这当然包括无穷大的任意子集的存在性原理套。将其中一些归结为一个潜在的逻辑及其推测“标准”语义只是为了模糊集合论的关键目标。

组合最大性是集合论的一个明确动机，但如果我们用不理智来构造它，这相当于放弃了一个完整的目标公理分析。

我想是对原始本质和“逻辑透明性”的信仰任何给定域的所有子集的概念都被广泛接受，但事实并非如此超越了组合最大性的一般思想。集的二阶理论并不能使幂集的性质更清楚，但只是假设问题已经解决了。通过接受这个想法理所当然，对待二阶的特殊“标准”意义量词作为一种逻辑原语，我们可能只是模糊了“模糊的”特征，”任意子集和的概念的“固有模糊性”功率集无论如何，一阶集的优势应该是显而易见的理论上，它迫使专家明确地面对澄清的任务这些观念。

总之，幂集公理假定了一个极大的任意给定S的子集，最大值保持模——或者可能更好的是，它仍然是一个理想的地平线，甚至可能不可能用数学术语充分具体化。要求基本明确在否定的情况下：如果是可以证明存在S的子集T的情况，则（通过幂集的最大值）T必须是的元素℘（S） 。我们希望℘（ω）是组合极大的，但为了使其精确人们应该阐明它的含义，提供一个完整的公理化分析。

域中必须给出哪些集合将取决于剩余的公理，可能与幂集本身相结合（这是一个附带条件特别是由于ZFC系统的不精确性所必需的）。

§6.关于ZFC中的任意集：通过分离的子集。分离公理也可以称为可定义子集公理。的子集TS由Separation给出，当在语言中存在形式谓词ξ（x）时的ZFC，它表征了属于T的S的元素。因为Separation和formal给出的子集之间的这种严格对应关系谓词ξ（x），我们正在考虑的公理似乎达不到完全准组合主义的任意范围。

然而，考虑一个建构主义者可能会发现什么是有启发性的在假定中令人反感。这当然是Separation的不确定性：公理可以用来指定S的某个子集，比如通过引用到发电机组℘（S） ，我们可能无法用其他方式来描述。这从更严格的角度来看，这种方法对预测主义者来说是不可接受的建构主义立场。

目前尚不清楚分离的不确定性可能在多大程度上被捕获一些准组合思想。一阶逻辑的语言，由其丰富的表达方式，尤其是多重表达的使用量词，可以表示元素之间非常微妙的相互关系领域考虑一个一阶句子：∀x∃yΦ（x，y），它可以表示域中每个x都存在唯一的y。在这种情况下在这种情况下，一阶逻辑足以定义函数关系在域的元素之间。这一点和不确定性很可能使分离捕捉了一点任意集的概念。

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