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数学论文(不可达基数的广义随机实压迫) (14-4)

(4) 关于定义10(4)♦S是“有Aα:α∈S,Aα⊆α使得对于每一个A \8838α,集合{α∈S:Aåα=Aα}是λ“的一个平稳子集。然而,给定如上所述的序列,以及h是从λ到h(λ)的一对一函数(它们是相同的基数,因为λ=λ<λ源自“λ不可访问”),设E={µ<λ:h将h(µ)映射到µ}上。

它是λ的Club,因为µ<λ⇒2µ<λ。最后,设Xδ⊆δ为{α<δ:h(α)∈Aδ};

它很容易满足要求。(相反,从Xδ开始,我们可以选择合适的Aδ)

注12:当S*是非反射的时,证明更简单。

接下来,强制将分几个步骤进行定义;那些将是树的强制力对于每一个δ∈S*∈{λ}。首先,我们将定义“最大”强迫Q0δ;稍后我们将定义两个额外的力Qδ⊆Q′δ≾Q0δ.对于每一种强制力强制关系将是反向包含的。

定义13:给定一个好的结构r,我们将为每个α≤λ定义级别α的顶点集合:

Tα=ǫ<αθǫ;

对于α≤λ,我们将定义到α的完整树为这些集合的并集:

T<α={Tβ:β<α}。

备注14:在第2节结束之前,我们假设我们有一个好的结构r。

公理:

(1) 对于所有的δ1<δ≤λ和Γ∈Tδ设Γ↾δ1限制μ到δ1。

(2) 对于每一个δ∈S*Ş{λ}和一个集u⊆T<δ,我们写limδ(u) ={Γ∈Tδ:∀α<δ,Γ↾α∈u}。

(3) 对于所有的δ≤λ和集合u⊆T<δ,对于δ1<δ,我们将写u↾δ1=uåT<δ1。

(4) 假设α<δ和u⊆T<α是树:非空集在取初始分段。设η∈u是某个节点;我们写作u[η]={Γ∈u:ηΓ∧ΓΓη}。

定义15:我们现在可以定义强制Q0δ对于每一个δ∈S*∈{λ}。

(1) 强制中的一个条件是树p⊆T<δ,这样:

(a) 有一个中继tr(p);这是唯一的元素η∈p

以下属性:

(i) 对于所有的Γ∈p,均为Γη或ηΓ。

(ii)对于性质为(1)(a)(i)的每个η′,我们有η′η。

(b) 对于每个η∈p,都有一个η∈limδ(p)。

(c) 对于tr(p)η∈p,{j∈θlg(η):η⌢j∈p}=θlg。

(d) 集Sp={δ1∈(lg(tr(p)),δ):limδ1(p↾δ1)⊆p}是一个脆弱的S*的子集;我们把这个集合称为证人集合。

(2) 对于所有p,q∈Q0δ我们说p≤q当且仅当p⊇q。

注16:我们可以想到一个树p∈Q0δ

关于δ∈S*Ş{λ}为完备数从我们正在修理的lg(tr(p))级别开始:在后续级别中,我们不是允许修理。在限制级别上,只有当level是Sp中的一个序数,所以在大多数极限级别中,我们在Sp中的阶段,只要(1)(b)成立,我们就可以随心所欲地切割;

因此,每个级别中的每个节点都将有一个延续,高于其长

备注17:另一种定义可以是,在后续级别中可能是弹簧,只要它们不太大,即{j∈θlg(η):η⌢j/∈p}

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