数学论文（关于任意集和ZFC） (11-9)

Borel、Baire、Lebesgue、Weyl和其他人对Zermelo的反应系统，以及他们对AC的原则性反对意见，可以反过来理解为关于集合的象作为概念的不充分性，有许多争论。让我再次强调，只要我们不假设一个逻辑学家的天堂的存在，其中所有需要的“准组合”概念已经给出（第1.2节）。

一个方面需要进一步澄清。Choice作为集合存在性原理是关于背景模型的假设。众所周知，在可构造性（V=L）等假设下，选择原理成为一个定理；我们会的回到下面这个。假设由提供的集合的存在性选择之所以令人反感，只是因为它（默认或明确）假设背景模型确实包括任意集。这是在R及其良序的上下文中几乎是微不足道的，我们只是讨论，因为实数的“经典”概念与实际无穷大和任意子集的假设密切相关（第2.3节）。

让我换一种说法。我将在下面争论AC是ZFC内部拟组合主义理想的最强体现，但是即使是该实施例也没有直接捕捉任意集合的思想，在某种绝对意义上——但只是相对的和部分的。再过一次集理论发展了一个世纪，人们可能会怀疑其最终原因为什么开国元勋们没有明确他们的基本动机完全承认任意集只是因为这个想法是不可能确定的完全放下——它不能完全明确。

§4.关于可构建性的插页。衡量的一个重要因素拟组合主义的重要意义在于对可构造性的研究universe.32这有助于在数学上更清楚地了解准组合（或完整）宇宙的含义。因此，让我们简单地考虑一下可构造性公理，通常以书面形式提出（在类记法中）V=L，我们在交流时也必须考虑到这一点后来G¨odel的可建构性思想是作为m的一个特征组合而产生的现代的或“经典”程序和建构主义限制。的主要影响可构造性的要求是废除集合的不确定性定义，并通过明确的定义逐步构思引入的集合；但另一方面，过程的超限迭代是允许的步数，步数+1。一般每个超限序数α都有一个步长α。像G¨odel强调，这是一个完全非结构化的元素，它抵消了对不明确定义（即宇宙）的消除是在非精确给定的序数类上生成的）。因此该方法使用了谓词可定义性的超限迭代。G¨odel最初的希望可能是，这样做，可以限制真的很多不可指集和任意集。这至少可能是为什么他在1938年关于AC一致性的摘要的最后一段中写道和GCH：

作为一个新公理添加的命题[V=L]似乎给出了集合论公理的自然完备，就其而言确定了确定性中任意无穷集的模糊概念方法（费费曼[1990，第27页]。）

后来的工作表明事实并非如此，即的超限迭代谓词可定义性捕获很少（甚至什么都没有？）任意集，这将在下文中变得更加清楚。此外，假设V=L似乎违背了集合论背后的激励思想，特别是反对组合最大性。但这一点从一开始就不清楚。

可构造性要求可以最简单地表示为对冯-诺依曼层次结构的限制：而通常的累积层次结构是假设当域Vα+1被定义为包括α的所有子集，可构造层次引入Lα+1作为集合所有预测定义的Lα子集（参数在Lα中）。但是当严格的预测方法只允许有限的水平，因此不足以引入许多序数，G¨模型的可构造层次所有序数的水平都是α。

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