数学论文（关于任意集和ZFC） (11-8)

也许准组合主义最具特征的特征是一种负面特征：人们完全无视明确定义的问题（通过任何给定系统中的形式谓词）与的“给定性”无关无限集。从这个角度来看，特定函数、序列或集合的显式定义只是“挑选”存在对象的方法独立于构造或定义，并且在构造或定义之前。完全独立于数学家的选择、动作或构造、选择给出了集合和选择函数。正是由于这些原因，Bernays指出AC是拟组合的“直接应用”观点。

1905年左右，正是什么给选择公理带来了麻烦对可定义性的坚持，无穷集应该是确定的这是因为许多数学家理解集合作为概念扩展，他们发现假设集合的“存在”，例如由Choice保证的集合。（同样，许多认为函数应该由显式公式给出——这种观点早在1870年就从柏林大力推广。31）更准确地说，那个时期的许多数学家倾向于建构主义数学存在的概念（对于实数），并显示出关于实数集的可定义偏好，所有这些都导致它们反对选择公理。

在普遍关注的案件中，所有这些都特别清楚1905年前后：实数集R的一个良序的存在性。

对于那些认为集合是由概念决定的数学家来说，泽梅洛关于存在这样一个良序的证明是不成立的。它正在变得正如今天所清楚的那样，当时越来越清楚的是，这样一个良好的秩序不是可定义。

注意，一个具体的，可定义的良好排序是Hilbert所要求的在著名的1900列表的问题1中：

在我看来，最希望得到这方面的直接证据坎托的非凡陈述，也许是通过实际给出实数的排列，使得在每个偏集中可以指出第一个数字。（希尔伯特[1900，第1104页]。）

鉴于以上所述，希尔伯特对这个问题的陈述是含糊的，因为任何精确的表述都必须涉及正式的系统。为了使其完全精确，最自然的公式是询问R的良好序是否是ZFC可定义的。这个希尔伯特问题在Solomon Feferman使用强迫方法证明“它是”与ZF、AC和GCH一致，不存在理论上可定义的集合连续统的良好有序性”（Feferman[1965,342]）。

关于Zermelo关于阱序定理的证明，´波莱尔1905年发表了一些非常有见地的评论。泽梅洛展示了两个问题的等价性：一个好序问题集S，以及在幂集上定义选择函数的问题℘（S） 。

在Borel看来，第二个问题决不能被视为在全体的因此，他不断强调数学家需要指定他们要研究的无限对象或过程。他坚持需要用概念定义无限集，而接受AC的人是，或多或少有意识地强调他们的观点，即可定义性不是中心物质，而任意集合（分别为准组合主义）是主要的。

当然，在这个层面上，观点的复杂性（通常是不兼容的）在集合论的早期发展过程中变得十分清晰。而康托尔迪德金和泽梅洛是任意盘的冠军，皮诺考虑了选择公理并拒绝了这个想法，拉塞尔留下来了在整个20世纪和《数学原理》中，法国人都是不可知论者分析家Baire、Borel和Lebesgue否定了他们之前的原则依赖。等等（参见Moore[1982]，了解过多的细节。）

一些数学家在他们的整个职业生涯中坚持认为-有限集只能被接受，前提是它们是由明确定义。Hermann Weyl为我们提供了一个非常沿着这些路线的一致立场。他认为，由于不可穷尽性无穷集的一个特征&简单的拟组合观点不能应用于它们（Weyl[1918，pp.13-15，32-33]）。有人说过Weyl从未证明一个依赖于选择公理的结果，虽然我没有证实这是真的，但很明显，他已经尽了最大努力确保他的数学工作不受假设的影响被认为是如此可疑。

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