数学论文（关于任意集和ZFC） (11-7)

很明显，可以通过N上的二值函数来研究连续体。这些函数反过来可以看作是对N的子集进行编码。因此连续体的“秘密”无非是幂集的秘密℘（N） 。

坎托至少清楚地看到了这一论断的一部分，并完全理解清楚地知道如何简单地通过考虑将其推广到任何集合S

f： S→｛0，1｝（Cantor〔1892〕）。当时的任务是研究“所有可能的”N的子集，或者一般的S，无论S的基数有多大；也就是说，问题在于理解任意子集。

进一步的历史注释正在进行中。通过重新思考实数Dirichlet任意函数的均值不是的有理重构我自己的想象。不仅仅是因为相应的认识一定潜伏在幕后，尤其是在算术方法，如Cantor和Weierstrass，熟悉连续分数、幂级数，当然还有数字展开（十进制，二元、三元）。Cantor的一篇著名论文[1892]和的手稿Dedekind是集合论创始人重新认识的见证者实数系统正是沿着这些线。Dedekind的短片，日期为1891年，值得注意的是，它引入了拜尔空间（在意义上描述性集合论，而不是更常见的拓扑学）八年前任´e Baire的论文。

直接处理的结构h N，1，ói在Dedekind[1888]中定义的自然数，他认为“连续的”所有映射的集合→N.这是一个实质性的举动从数制及其所谓数制的传统观念中解放出来“基因构建”，走向更纯粹的集合论方法连续体

2.3.在有序域Q的基础上定义实数，Cantor依赖于有理数序列的总和，而Dedekind依赖于对合理数字的总体削减。在第一种情况下需要允许任意（不可定义）序列，在第二个需要任意（不可定义）切割。但这一假设在他们的1872年的工作，一个假设“所有可能的”序列Q的有理数或子集可以作为一个新集合的元素给出。

毫无疑问，德德金和坎托都没有继续提出明确的Powerset原理，至少在印刷品中是这样。这个想法有点过时了模糊的，以一个实际上至关重要但隐含的指导原则的形式。

康托尔在给希尔伯特的一封信中明确了这一原则（公式为在然而，模糊的上下文），但只是为了在下一个字母中表达怀疑。在无论如何，他们的实数理论以全幂集为前提公理将连续体理解为点集的必要性提供了最有力的论据对其有利。在康托尔的作品中还有其他的观点和Dedekind，它们与Powerset或至少与任意子集相关：

Cantor关于点集的研究是在任意集假设的基础上进行的的实数集，这同样适用于Dedekind关于理想的工作（无穷集复整数），其中他经常假设任何环上所有可能的理想要给定的整数的数量.

正如我们所看到的，关于任意函数、任意实数和任意集的思想是集合论——从Dedekind和Cantor，到Lebesgue、Zermelo等等。

在这种观念的影响下，接受的激励原则任意子集的总和被放置到位。这一关键原则成为十年来集合论批评者争论的主要焦点1900年以后，尽管Dedekind都没有明确表示或Cantor。只有有了选择公理，这一原则才更多地浮出水面清晰地

§3.选择原则。从原则上接受任意子集的角度来看，显然应该接受选择集。

就像我们把一组整数视为无穷多个“独立行为”的“结果”，决定每个数字是否应该包括它一样或者被排除在外，我们将非虚拟集族F的选择集视为无穷多个“独立作用”分配给每个y∈F的结果元素x∈y。使用G¨odel的“随机集”术语，很明显在F的随机子集中，有满足条件的子集刚刚阐明。集合论的指导思想是集合被视为给定的。

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