数学论文（关于任意集和ZFC） (11-6)

狄利克雷和黎曼关于任意函数的思想也强烈地推动了戴德金的工作。这导致他引入了任意映射，作为集合论中的一个明确概念，在他1888年的著作中。（他们已经自1871年以来，在他的代数和数论研究中，一起具有同态和同构的概念。）但是意图任意性仍然相当模糊，直到1888年，他才谈到集合S的映射ξ是由“一个定律”决定的（Dedekind[1888，p.799]）。

从我们的观点来看（第1.2节），“任意法律”的概念并不意味着意义，否则它只是集合论问题在内涵对象的水平（就像“准组合”的情况一样概念”，见上文1.2）。但很明显，Dedekind是狄利克雷任意函数概念的党派性。

关于第1节，我们应该注意到公式给出的函数与一般函数，以及可定义集与任意集合。这是一个关键点，但我必须避免进入为了太空的利益，更多的历史细节。

2.2.重新研究实数概念的动机是刚才提到的点集研究的开端（Cantor，du Bois–Reymond），以及更普遍地通过分析（Dedekind，Weierstrass等）。非常有影响力的方法算术和有关纯数学的相关思想建立了新的方法论框架，导致了实数处理的重大创新。

由此产生的从集合Q中发展实数系统的动力有理数导致Cantor和Dedekind在实践中引入（尽管在理论层面上还不够清楚）集合论的两个核心假设：

无穷大公理和幂集公理；这伴随着一个假设Q的任意子集必须被允许。这一步骤是在1872年采取的Dedekind和Cantor，但只是含蓄地；事实上，他们推理同时假定无穷集，它们的幂域，以及准组合子集。回顾过去，这些假设的根源可以在关于十进制展开的传统观点中找到。引入十进制后扩展，最终很明显单位长度的间隔可以与所有可能的十进制展开式相关联在冒号之后，即密码对有限序数的所有可能赋值数字。

我谨慎地表达了自己，有意地写下了“关联”，避免现代的实数与无穷大的识别思想十进制展开。从方法论的角度来看，这是一个重要的差别注意以下几点：承认一点是一回事在一行上，确定了无穷大的十进制展开式（可能是非周期性的）或者可以产生——还有另一件事，定义中的实数区间（0，1）作为所有可能的无限小数展开式

0，c1c2c3…ci…

其中ci是十进制记数法中的密码。第一个原则是传统的，从（至少）大约1600年开始被承认，但第二个方法是通常是现代的。在第一种方法中，数学中的存在问题仍然可以与欧几里得的元素（点由显式图解结构给出）和十进制展开式可以被视为对这些实体的数值近似。

第二种观点脱离了这种建设性和/或直观的几何基础，需要引入无穷大立场和抽象的存在原则。这种现代方法源于约1850-70年；它是在新方法的背景下出现的纯数学、现代分析和代数以及算术。

现在让我们使用任意函数的Dirichlet概念来更明确的现代概念之间的联系实数和十进制展开式。单位区间内的实数可以用十个密码的序列来理解，因此可以用所有任意函数的

f： N→｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝。

这一观点表明，连续体的秘密将在任意函数，在任意的密码序列中，在所有的思想中可能的任务。

当然，与十进制记数法的十位数不同很好地使用任何有限数量的数字，特别是三进制或二进制扩展。如果不是f:N→｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝我们考虑二进制表示法，

f： N→｛0、1｝，

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