数学论文（关于任意集和ZFC） (11-5)

剩下的都是任意集，不可定义集，正如你所知，℘（N） 只包含无数个可定义集，连续体许多不可定义集合；类似地，℘（R） 包含22ℵ0不可定义集合等等。

任意集背后的直观思想是“独立决定的无穷大”，用Bernays的话来说，它将每个整数分配给的情况下是否设置℘（N） ；或将每个实数分配给集合或不分配给的案例℘（R） ，等等G¨odel用“随机”的语言提出了这个概念一组”数字，以强调这些独立的决定是为了被认为是随机的——不是由形式谓词或类似的东西决定的。

如果我们的目标是确定我们正在谈论的概念。（其他选项，如谈论“自由选择”就他们的拟人化建议冲突而言，不太令人满意集合论的静态、柏拉图主义取向。事实上，他们邀请我们建构主义。）

我们允许自己对这些任意或随机集的总体进行推理，将它们视为给定的，就像我们将N视为鉴于但请注意，人们可能希望在℘（N）和℘（R） ，只要N的单个元素是完全可指定的，而那些R不是——也就是说，只要实数提出了可定义性问题不适合自然人。这意味着幂集的可迭代性操作不明显。但是集合论独特的观点，在坎托-戴德金的传统，就是无视这样的区别。

关键的问题是，我们对“休息”有数学控制吗任意子集？ZFC在多大程度上处理了这个想法？

什么集合论公理在使概念更加精确方面发挥了作用任意集合的？但是，在讨论这些问题之前，让我们考虑一下更详细的历史渊源。

第1部分.ZFC后面的任意集

§2.函数、实数和任意集。分析发展的两条主线趋同，促进了对任意性的承认集合，即关于实数的十进制展开和（Dirichlet–Riemann）所谓任意函数的概念。第二个这条线在1870-1930年间更加明确，其重要性是众所周知的。

2.1对函数进行精确狄利克雷方法的尝试是集合论出现的关键驱动力之一。古斯塔夫勒琼-狄利克雷在1837年提出了一个“纯概念”的函数思想作为数值的任何（多对一）对应关系——不管是否可以通过公式来确定相关性。这是他试图在一般概念的基础上建立数学，而不是公式或分析表达式。他称之为“武断”在19世纪，人们习惯于说“狄利克雷的任意函数的“概念”。注意Dirichlet的方法，因为它将显式分析公式置于次要地位，迫使数学家具体考虑它们的域和共域函数对应、任意函数。

三十年后，间断函数的研究开始了，由于黎曼对积分的新定义数学家设置理论考虑。这些研究，包括试图扩展狄利克雷关于傅立叶级数的工作，引领了数学家们像汉克尔、杜波依斯-雷蒙德和坎托一样分析的性质给定函数不连续的点集（或级数在Cantor的情况下，表示失败），即所谓的唯一性集合。

这项研究涉及R的可定义子集，现在是描述性的集合论（本质上相当于中参数的可定义性R） ，但研究的指导思想是，任意子集必须承认。假定给定任意无限点集P⊆R，然后我们继续研究，例如，通过它的极限集的性质点。无限点集是完全任意的，但我们集中于根据指定的属性（例如，在运算派生集导致空集的可计数多次迭代）。

康托尔和其他人在课程中介绍了点集的复杂例子在他们的研究中，最著名的是康托的三元集。更普遍地说研究由开（闭）集通过互补得到的集，可数并集，投影，重复了无数次，这导致了Borel集合，解析集合，射影集合。众所周知，主要问题在这个领域中，由投射行列式和大基数公理来解决（见Maddy[1997]）.

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