数学论文（关于任意集和ZFC） (11-4)

以同样的方式，可以将一组整数视为中的结果-有限多个独立行为决定每个数是否应该包括或排除它。我们在此基础上添加了这些集合的总和。实数序列和实数集数字是以类似的方式设想的。从这一点来看观点，具体功能、序列的构造性定义，集合只是挑选一个独立于构造并在构造之前存在的对象的方法。

选择公理是所讨论的拟组合概念的直接应用。（Bernays[1935，第259页–260]。）

如果没有与建构主义数学方法的对比，Bernays对集合的直观概念的巧妙解释是不可能的。12在这方面和其他一些方面，建构主义评论家做出了贡献，集中于奠定现代数学的基础。

还请注意Bernays是如何以解释函数和立即转移到片场。“set”和之间的本质等价在现代集合论环境中的“功能”对他的成员来说是显而易见的一代它在20世纪20年代随着功能的全面减少而变得清晰起来到ZFC中的集合，但也与von Neumann的原始系统使用的论点和函数（他称之为I对象和II对象）作为原始概念（不是集合成员）；见Heijenoort[1967年，第399页]。

本质等价是关于集合的一个重要实现。一旦我相信，人们可以理解天真地认为布景是一种诱惑常识的问题消失了。

1.4.我在上面说过，像弗雷格、皮诺这样的同时代人的情况，年轻的拉塞尔可能有所不同，因为人们可以解读对他们来说，集合是并且只能是可定义的。Frege从概念开始，一个集合是一个概念的延伸，因此对于要给定的集合，必须有可用的概念。在什么条件下概念是“可用的”是一个悬而未决的问题。当时他们希望发展一种象征性的微积分可以完全反映算术真理的领域，以及隐含地，这包括希望N的可定义子集的领域可能达到所有自然数集。

概念可能至少有两种方式可用，如抽象给出的，或通过语言规范的手段；到了1890年，甚至到了1910年，弗雷格和其他人（包括法国人分析师Borel，Baire，Lebesgue）可能希望这两种“可用性”途径可能重合。在关于正式系统的有限结果之后，我们知道弗雷格和年轻的拉塞尔需要一些一种“准组合概念”，这在术语（因为必须从给出定义的可能性中抽象出来。，概念的确定，这样的“概念”）。但到1900年，这一假设的必要性及其影响仍远未明确。这解释了为什么弗雷格和同时代人仍然可以做出他们的定义倾向似乎与坚持经典分析相一致。

如果一个人希望避免概念的形而上学柏拉图主义和早期观点中的不确定性，一个概念应该被视为对应物，某种语言表达的“幻影”或“影子”，例如双素数或完美波兰空间。

现代逻辑理论建议在给定的形式语言中，用开放句的清晰概念来识别“概念”的模糊概念。让我们，为了简洁而精确，称之为形式谓词。

这使得数学化和扩展的概念成为可能可定义集合，说集合C在结构M上可定义，当和只有当一个自由变量中有一个形式谓词时（在该语言中LM），使得C的成员满足形式谓词。使用ξ（x）作为LM语言中形式谓词的示意表示，这是除了非常熟悉的C={x:ξ（x）}之外什么都没有。C是由所有对象形成的（在某个领域）属于正式指定的概念，使用弗雷格的措辞。

1.5.自然地，可定义集合的概念是相对于形式的正在考虑的语言；当我们处理参数的可定义性时，语言的解释领域也变成了关键的这就产生了在处理集合论时需要注意的问题，因为依赖不同的正式系统可能会带来显著的差异在可定义集合中。不管怎样，随着我们讨论的举动获得了可定义集合的清晰、机械的特征。

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