数学论文（关于任意集和ZFC） (11-3)

由于可定义集合对应于有限或递归形式语言中的句子，给定任意基数的集合C和对应的形式语言中，只有可计数的许多C.Cantor的可定义子集定理保证了C有不可定义的子集在自然数的情况下，即使我们允许（可计数的）许多不同的形式系统，也只存在N的可计数的许多可定义子集Cantonian集合论保证了存在许多任意的连续体N的子集。那么，直观地，随机选择的N的子集将是完全的任意的，不可定义的。

Cantor对角过程的重要性恰恰在于，它构成了一种超越任何给定的可定义子集序列的方法N（类似于其他集合）。然而，就其本身而言，Cantor的对角线方法不会导致任意集。事实上，如果的可数序列自然数的可定义集合是明确给出的，这样我们就可以计算n是否属于n，则对角过程产生n∈B的真值的计算（其中B指定义的新集合通过Cantor的方法）。这是Richard悖论中利用的特征，反过来又通过将可定义性限制为特定的形式来解决语言。

一个更自由的概念是带参数的可定义性，这相当于与相对化的可定义性相同。想法如下。尽管大多数实数都不能从自然数系中定义，我们可以假设集合R是给定的，并考虑可定义的实数集在R中具有任意参数的结构hR，0，1，+，·i的语言中。

请注意，这需要我们采用一种方法论柏拉图主义的形式；我们引入一个假设，即给出了一些我们不能完全指定的系统。

就像以前一样，由于必须正式指定语言，因此遵循只有R的可数多个子集是可定义的，并且（根据Cantor定理）还有更多的不可定义子集。

当使用参数的可定义性时，参数的域必须从一开始就固定。理查德悖论利用了一种模糊性在这里，因为如果我们认为这个域是一路生成的，那么矛盾似乎不可避免。集合论静态概念之比较而数学对象的生成或建构主义概念1900年前后不够清晰。有时这种对比会被掩盖，甚至今天，由集合论的粗心的解释者。

1.3.把Dedekind和Cantor的经典观点称为拟组合的原因如下。在传统的组合数学中，我们给定了有限数量的元素，以及它们所有可能的组合则被视为给定。当元件的数量非常大时，例如（10）10，实际生产它们的所有组合可能是不可行的，但是，如果我们忽视由于操作时间和速度的限制，它们可能被认为是可到达的——这是传统的观点。什么关于无穷多元素的组合？这里有两种可能答案，其特征是集合论与建构主义的观点建构主义者会坚持认为无穷大case和有限case本质上不同，所以两者都不能放在一起标准杆。

集合论与现代数学，以康托尔和Dedekind，坚持把无限的情况和有限的情况放在一起考虑。

因此命名为“准组合”是为了强调一个事实，即用有限的、组合的情况来进行类比。那个名字是Bernays[1935]用值得的词语创造并解释了这一概念报价：

但分析并不满足于这种温和的柏拉图主义[取所有给定自然数的集合]；它反映了它在以下概念方面达到了更强的程度：集合数字、数字序列和函数。它摘录自给出集合、序列和函数定义的可能性。

这些概念是在“准组合”的意义上使用的我的意思是：在无限与有限的类比意义上。

例如，考虑分配给的不同函数有限级数1、2、…的每个成员，n个相同的数字系列有nn，这类函数中的每一个都是通过n个独立测定获得。传递到无限在这种情况下，我们想象由无穷多个独立决定产生的函数，这些决定为每个整数分配一个整数，并且我们对这些功能的整体进行推理。

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