数学论文（关于任意集和ZFC） (11-2)

本文的主要目的是对（i）允许任意子集的指导原则的起源，以及（ii）它在形式公理系统ZF中被捕获的方式选择，ZFC。在第一部分中，我将论证选择公理（AC）是一个绝对自然的假设，以免集合论强烈偏离Dedekind、Cantor、Zermelo、Hausdorff的作品，以及来自古典理解实数。此外，我认为AC来了最接近于捕捉（一点）任意、不可定义集的概念--也被称为“准组合主义”或“组合最大性”第二部分致力于论证，综合考虑，ZFC是一个穷极系统与其研究“一切可能”任意性的激励目标的比较子集（这表明了该系统及其失败的深层原因解决CH的真或假的扩展）。

§1.准组合主义。从一开始，承认的想法，任意子集是开国元勋们的重要动机我特别提到坎托、德德金、希尔伯特和泽梅洛，因为弗雷格和拉塞尔的情况可能有所不同。当我们这么说的时候在集合论中，存在N的所有子集的集合，这个集合℘（N） 假设将N的所有可能子集作为元素，无论是否可定义，都是它们是有限的或无限的。令人惊讶的是，Cantor和Dedekind从未做到这一点在他们发表的试图制定系统的文章中充分明确的想法集合论的处理——Dedekind[1888]处理有限集合和可数集合，Cantor的Beitr年龄[1895&19897]处理第一类集合两个超限基数。然而，该原理显然需要他们对集合论和数学基础的贡献，以及我认为可以公平地说，这是他们做法的明显特点。

直到1900年，它仍然是一个关键但隐含的指导原则，也偏离了许多同时代人的观点，包括对集合论非常重要的贡献者，如Borel、Baire和勒贝格。

1.dekind–Cantor方法被描述为一个准组合概念，原因我们现在回顾。5对比既要有建构主义的概念，也要有可定义主义的概念视图。

基本区别（不太清楚，不太理想）是可定义的集合和任意集合。6可定义集合的概念似乎足够清楚：考虑所有偶数自然数{2，4，6，8，…}的集合，定义在显而易见的方式，或素数的集合{2，3，5，7，11，…}，可定义为所有数n的集合，使得m/n表示m=n或m=1。即使集合{3，141592653，…}，由十进制密码分组形成可以根据自然数的性质来定义abl的展开，在结构为hN，0，+，·i的语言中的有限性——尽管事实上是一个超越数。

当然，这个问题与任意（不可定义）完全不同N的子集。我们前面的例子使用了足以让读者相信，不可能提供一个具体的自然数的“任意集合”的例子。的具体示例我们所能提供的无穷多个自然集合是自然事实上可定义的集合naturals（这不仅包括描述性集合论中研究的集合，而且，例如，在0#和其他锐器的情况下，参见下面的第6节）。这个人们越是反思这件事，它就越明显；最终一个可能会认为“武断”的“具体”例子的想法任何事情都是矛盾修辞法。然而，这一点并不经常被强调，而是相反，通常是模糊的，因此强调两者似乎都很重要并完全吸收。

考虑一下它对幂集假设的启示：尽管我们可以指定的任何东西都是可定义集，我们仍然假设自然数集合（可定义和不可定义）的整体的存在性，的元素℘（N） 。这项规定的要求完全不同从假设自然数的总和N，在这种情况下没有展示具体实例的问题。

1.2.为了避免诸如理查德悖论之类的悖论，可定义性的概念必须被理解为相对于某种特定的形式系统。因此可定义集合将对应于某些（有限的或递归的）句子可指定的）形式语言。可以考虑扩展语言，或者同时使用几种形式语言，但这不会改变本质要点：所考虑的系统必须是完全可指定的，相当于严格形式的要求，即递归规范。

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