数学论文（关于任意集和ZFC） (11-11)

ZFC系统的一些公理几乎不能对其做出任何贡献，正如外延性、配对性、正则性、无穷性，甚至我们将考虑剩下的三个公理，即公理分离公理、选择公理和幂集公理。这些是与给定集合的哪些子集有关的假设S存在。（分离是替换的结果，但不是相反，因此似乎有必要讨论后者；但两者的逻辑特征公理对于我们将要讨论的任何问题都是相似的，因此，我们可以毫无损失地将讨论限制在分离上。）在所有这些在这种情况下，我们将在第5节中谈到概念（理解、思想）和形式公理是相关的。

我们将重新审视这三个公理的观点是：

（i） 任意集的概念在多大程度上是激励它们所必需的直观地，以及

（ii）它们中的每一个对模型的要求公理集合论，或者换一种说法，这些公理强制执行什么在集合论域上。

ZFC的元理论中的众所周知的结果，从Skolem的结果开始，它已经承认了可数的模型表明公理并没有很强的执行力。但我相信欢迎对此事进行初步讨论，我就是这样做的应提供。

当然，有必要记住，公理要求是在其他公理存在的情况下修改的：如果是这样的话公理中的一个完成了提供任意子集的工作，所有其他的公理是次要的。

§5.数学的互补性和幂集。在本节中，我们引入一个简短的题外话，与以下内容相关，尽管这不能成为对观点进行全面详细讨论的地方以及我的理由。

5.1.在数学的发展过程中，我们发现了值得注意的例子两种相反的倾向。一个是倾向于将数学简化为纯粹的符号系统；值得注意的例子出现在20世纪世纪严格的形式主义，也在拉格朗日、皮诺等另一种是试图将数学简化为纯粹的概念系统值得注意的例子可以在19世纪的趋势中找到被称为“概念方法”（例如，Dedekind），但在某些情况下20世纪范畴理论的支持者给人的印象从研究这些发展来看，没有一个是成功的（在他们的终极还原论目标中；他们已经导致了进步和部分成功）。

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