数学论文（关于任意集和ZFC） (9-1)

注：（2/2）章节！

长期以来，数学家和哲学家一直在娱乐希望能够开发出一个符号系统，完美地反映数学家头脑中的思维过程。莱布尼茨的数学宇宙的理想就是受到这种希望的启发，他的观点影响了后来的许多作家，包括布尔、格拉斯曼、弗雷格和希尔伯特。

（在之前的工作中，提到将逻辑推理应用于算法数学处理的努力，我称之为“微积分原理”（费雷尔´显然，这样的进球是个大骗局现代数理逻辑发展的时序与基础研究，很明显，G¨odel不完全性定理的建立它面临的关键限制。另一方面，19世纪的“概念”趋势通过集合和结构重新认识了所有数学，但是集合论的悖论迫使它在高度Zermelo等人的形式化公理系统。一般来说，数学家有时会设法避开某种符号系统，但只是为了开发一些新的系统。

在我看来，两种激进倾向的失败是至关重要的。这个我所采取的观点强调需要考虑意义或思想伴随着公式和计算。（毫无疑问，这与许多其他哲学家，但问题是如何进行。）数学的如果不沉浸在实践中，就无法掌握象征主义学习我们学会将表征和意义与之联系起来的实践公式。正常（所谓的非正式）符号系统和理论不能在实践之外独善其身；以及当系统和理论是形式化的、独立的，解释不规范的现象自然产生。

事实上，我为象征手段和思想的互补性辩护数学——每一个都被另一个连接在一起，没有一个可以归结为另外由于显而易见的原因，我们更难否认象征性成分在数学中的作用和重要性，而是要进行实质性的论证可以给出关于概念成分的类似结论就我在这里的目的而言，我将满足于适度的声明，即关于20世纪数学及其基础的发展，这种观点值得认真考虑作为一种选择。

象征手段和思想的互补性解释了距离形式公理和概念理解之间的关系。a.真正微不足道的例子如下：

2+2=5显然是正确的，假设“5”是与数字4相关联的密码。的公理幂集提供了一个不平凡的例子（其中准组合主义与可定义子集的讨论是相关的，见第1节）。

5.2.凭直觉，通过℘（C） 我们指的是元素都是子集的集合。实际上，我们可以说这一切都是徒劳的，只是为了强调这一点。但是ZFC中常见的形式公理仅确保在建模的域∆中在形式系统中，有一个对象与所有对象都具有ε关系在∆中，它们是C的子集，即在域中“充当”C的子集。通过本身，假设的效果℘（S） 是将所有子集“收集”到一个集合中在域中给定的S的。

这个例子与众所周知的Skolem现象有关悖论，存在一阶ZFC的非标准模型的事实，有时被称为“非预期”模型。43由L¨owenheim–Skolem定理得到Skolem悖论：一阶ZFC具有可数模型；

在那些型号中，既有苏，也有动力装置℘（啊），但是℘（ω），正在作为可数模型的一部分，它本身是可数的。正如你所知，没有这里的矛盾，只是一个悖论：在模型中℘（ω）和ω，但“从外部”（在更广泛的模型中）人们可以认识到这种对应关系的存在。

Skolem悖论中的悖论来自于形式公理和我们的概念理解。我们可能倾向于说，在一个非预期的Skolem模型中，正式给定℘（C） “不能真的有“所有子集”。通过这样做，我们展示了我们的印象（思想），正式的系统没有捕捉到我们的意思。这个从而强调了我上面描述的互补现象。

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