数学联邦政治世界观
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数学论文(番外篇) (7-4)

等价:如果A⊆δ和A∈M,则A的每个初始段都在(<δ2)M,因此在该假设下也会在N中,使得A∈N的δ-近似性质;类似地,在另一个方向上,对于A∈N,导致P(δ)M=P(Δ)N。在δ=λ+的情况下,仅P(λ)M=P(λ+2.

正如我们所说的,它通过δ-近似确保了P(λ+)M=P(λ+N所有物今后,我们将把这些改进视为定理4。

引理5([Ham03,引理13],关于改进的

证明,遵循[Mit06])。假设V[g][g]是强迫扩张通过g*g⊆P*

▪Q,其中P是非平凡的,其基数小于正则基数δ

▪Q被迫在战略上<δ-关闭。

则推广V⊆V[g][g]满足δ-近似和δ-封面属性。

这些结果非常接近于建立地面模型-以及定理3。我们说一个参数r成功地定义了一个伪基,如果存在正则基数δ,使得对于每一个余数大于δ的i-不动点γ,存在具有δ-近似和δ-覆盖性质的传递性M⊆Vγ,使得M|=ZFCδ、(δ+)M=δ+和r=(<δ2)M。根据定理4M是唯一的,如果r以这种方式成功,那么我们就让Ur是并集γ无束缚地增加。因此,Ur|=ZFC

并且Ur⊆V具有δ-近似和覆盖性质,正确的δ+和r=(<δ2)Ur

相反地,如果U⊆V是任何伪地,

这意味着它是一个具有δ-近似和覆盖的ZFC模型对一些正则基数δV的性质,其中(δ+)U=δ+,则U=Ur,r=(<δ2)U。

类似地,我们说参数r成功地定义了一个地面,如果存在一些偏序集Q和滤波器G⊆Q,使得对于每个i-余数大于δ的不动点γ,存在传递性M⊆V

具有δ-近似和覆盖性质使得M|=ZFCδ,(δ+)M=δ+,r=(<δ2)M和G对于M[G]=Vγ的Q是M-一般的。在里面换句话说,如果r定义了一个伪地,则r定义了地

地同样,根据定理4,对于每个这样的γ,当它是存在的,当r以这种方式成功时,我们用Wr表示并集γ无束缚地增加。因此,Wr|=ZFC是V的地,通过V=Wr[G],反之,V的每个地通过设置强制产生一些这样的Wr。这建立了定理3,作为

以及作为定理4的结果的地面可定义性定理。  

  

(注意,为了方便起见,当r在这些定义中不成功时,我们可以分别定义Ur=V和Wr=V,得出一个总数所有伪基和基的索引,如定理3所述。)

在本文中,我们希望不仅在V中应用这些定义,其中我们有ZFC作为背景理论,但也在Vθ中,当θ为仅仅是一个同余性大于δ的i-不动点γ的极限。在这样的内部对于模型Vθ,定理4仍然暗示M⊆Vγ对于θ以下的γ,因此Wr的定义仍然有意义。进一步的如果V=W[G]实际上是W-泛型G⊆Q∈W的强制扩展,并且θ高于Q的秩,则它将看到合适的i-不动点γ

余数大于δ=|Q|+,其中M=Wγ⊆Vγ将见证期望的δ-近似和覆盖性质,使得Wθ=WrVθ。

相反,任何这样的WrVθ,其中Vθ=Wr[G]对于一些WrVθ-泛型G⊆Q∈WrVθ将作为关于Vθ的“地”来达到我们的目的在这种弱理论背景下,即使WrVθ可能不满足所有ZFC。任何这样的WrVθ将至少是ZFCδ的嵌套塔的并集模型。

我们简要说明了其中一个复杂性计算。考虑对于固定偏序集Q和滤波器G⊆Q,参数r的断言成功地使用Q和G来定义接地Wr,换句话说

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