数学论文（番外篇） (7-3)

可在没有参数的情况下定义。

定理3的一个直接结果是，关于集合论宇宙V可能具有的许多二阶断言是通过强迫得到的，实际上是可以用集合论的语言表达的一阶。例如，断言V不是任何内部模型的setforceing扩展，这种断言被称为ground Hamkins和Reitz引入的公理[Rei06，Rei07，Ham05]简单地表示为“∀r V=Wr”。类似地，它从定理3得出宇宙是通过强迫这个或这种特殊的地上模型是一阶的，可以用集合论的语言。

我们的论点不仅依赖于定理3的陈述，而且关于证明的一些想法和更精细的细节，因为我们的目标是特别注意宇宙断言的复杂性是通过强制以特定方式获得的。我们还需要不仅将定理3应用于全集合理论宇宙V，而且同样在Vθ中，只要θ是任意大的i-不动点的极限θ以下的余数。（例如，θ是一个不动点就足够了i-不动点的枚举。）现在让我们来解释一下那些想法和更精细的细节。

该证明利用了[Ham03]的以下中心定义，关于集合论传递模型的扩张W⊆U，其中δ是U中的基数。

（1） 扩展W⊆U满足δ-近似性质，如果

当A⊆W是U中的一个集，并且对于任何A∈W大小小于W中的δ，则A∈W。

（2） 扩展W⊆U满足δ-覆盖性质，如果

⊆W是U中小于δ的一组大小，则存在覆盖集合B∈W与A⊆B和|B|W＜δ。

核心事实是ZFC的每个内部模型W⊆V都表现出δ-近似和覆盖性质，并且右边的δ+是唯一的其特征在于这些事实及其幂集P（δ）。一级一级

定理4给出了类似的情况。由于引理5表明集强迫扩张具有δ近似和覆盖性质对于某些δ（注意

▪Q在那里可以是平凡的），并且由于P（δ）W是通过（＜δ2）W的δ-近似性质确定的，因此地W将由参数r=（＜δ2）W定义δ、 在定理3中，对于r=（＜δ2）W，我们将相应地得到W=Wr。

Jonas Reitz[Rei06，Rei07]孤立了方便和经济的理论ZFCδ，使得定理4的陈述变得简单。明确地ZFCδ具有Zermelo集合论的公理，选择公理≤δ-替换公理（表示具有域δ的函数，一个固定的正则基数），以及断言每个集合都由一组序数编码的公理。

理论ZFCδ可以用集合论的语言形式化，由δ的常数符号，或者它可以被视为对特别是已经固定的正则基数δ。例如

假设ZFC在背景中，那么对于任何正则基数δ和我-不动点θ的余数大于δ，这是一个简单的练习使用该δ验证Vθ|=ZFCδ。

如果Q中长度小于κ的条件的任何下降序列在Q中具有下界，则强迫概念Q是＜κ-闭合的。更一般地，Q在策略上＜κ-闭合，如果有策略τ使玩家II在长度κ游戏中继续合法游戏，玩家轮流进行在指定降序中的下一个元素时h pα|α＜κi从Q开始，玩家II在极限阶段先发（所以如果在播放过程中，构建了一个长度小于κ的递减序列对于玩家II来说没有下限）。

定理4（Hamkins，参见[Rei07，引理7.2]）。假设M，N和U是ZFCδ的传递模型，其中δ是固定的正则基数，M⊆U和N \8838U具有δ-逼近和δ-覆盖P（δ）M=P（δ。

则M=N。

Hamkins和Johnstone（2012）观察到，我们可能很容易削弱P（δ）M=P（δ（＜δ2）M=（＜δ2中）N，因为在δ-近似性质下，这些是

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