数学论文（番外篇） (7-2)

（2） 因此，几乎是巨大的，巨大的，超巨大的，排成一排

大基数从来都不是拉沃尔坚不可摧的。

（3） 类似地，可扩展基数，1-可扩展，甚至0-可扩展大基数从来都不是拉沃尔坚不可摧的。

（4） 提升基数、伪提升基数、弱超容大基数、超级不可折叠的大基数和强烈提升的大基数从来都不是Laver坚不可摧的。

（5） ∑n-反映，实际上∑n-正确的基数，对于每个有限n≥3，绝不是Laver坚不可摧的。

（6） 事实上，这是最有力的结果，因为这是最薄弱的概念--∑3-可扩展基数从来都不是Laver不可破坏的。

事实上，这些大的基本性质中的每一个都是可超破坏的。

也就是说，如果κ表现出它们中的任何一个，具有相应的目标θ，那么在由非平凡策略＜κ-闭引起的任何强迫扩展中强制Q∈Vθ，基数κ将不会表现出上述的大目标θ或更大的基数性质。

大基数属性的精确定义出现在末尾第2节。主定理1的陈述（5）在技术上是一个定理scheme，元理论中每个有限n的单独陈述。

我们将证明主定理1作为以下强化版本的陈述（6）的推论，我们在这里单独陈述，因为它是焦点案例，并且可以在没有任何特殊术语的情况下理解。

主要定理2。假设Vκ≺∑2Vλ对某个λ≥η

G⊆Q是非平凡策略＜κ-闭强迫的V-泛型

Q∈Vη。则对于所有θ≥η，

Vκ=V[G]κ6∑3v[G]θ。

换句话说，如果κ是∑2-可拓的，目标在V中的η以上，那么在Vη中任何非平凡的策略＜κ-闭强迫之后，它不是∑3-可扩展，目标高于η。

在继续发言之前，我们谨表示非常高兴和我们很荣幸能成为这本纪念册的一部分Richard Laver，他的数学启发了我们。

我们自己的许多工作，实际上是整个领域的工作。我们特别高兴能参与到这篇文章中来通过在两者之间建立联系来取得进展拉沃尔最基本的贡献之一，即大基数

他在[Lav78]中开创的坚不可摧现象，以及在[Lav07]中发现的地面模型可定义现象。我们的主线定理解释了地面模型的可定义性如何限制坚不可摧的程度。

2.一些地质背景和定义

我们的证明将利用最近关于地面可定义性的结果

集合论地质学新兴课题中的模型

宇宙V是通过强迫获得的地面模型集合的一部分。定理3概括了基本情况，是与Laver定理[Lav07]密切相关，由Woodin，关于理由的可定义性，即如果V⊆V[G]是通过V-一般滤波器G⊆Q∈V的强制扩展，则V是V[G]中的可定义类；它还与Hamkins将该定理强化为伪基密切相关，即如果W⊆V具有δ-近似和覆盖性质（定义如下）和（δ+）W=δ+，

则W可以用参数r＝（＜δ2）W在V中定义。传递类ZFC的模型W是V的基，如果V=W[G]是强迫扩展通过一些W-泛型G⊆Q∈W。

定理3（[FHR]）。存在一个参数化族{Wr|r∈V}

传递类的，使得：

（1） 每个Wr都是V的地。

（2） 对于某些r，V的每一个地都是Wr。

（3） 族是一致可定义的，因为关系式“x∈Wr”

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