数学论文（番外篇） (8-5)

由于N⊆N[H]=M[G]也具有δ-近似和覆盖性质，正确的δ+，并且r=（＜δ2）N，则由定理4得出

注意H∈N[H]=M[G]=WrV[H0][G0]，但是它不可能由G0相加，因此H∈WrV[H0]=N[H0]。

因此，N[H]⊆N[H0]，因此M[G]≾N[H0]，这意味着特别是G0∈N[H0]，与Q0是非平凡的相矛盾。

引理11.2。假设γ≤κ是正则基数，则M和N是ZFC的传递类模型，并且V＝M[G]=N[H]对于某些M-泛型G⊆Add（κ，1）M和某些N-泛型H𕥄加（γ，1）N。然后γ=κ或2γ=κ。

证据假设γ＜κ。由于Add（γ，1）在N[H]中迫使2＜γ=γ

M中2＜γ=γ，M中类似地2＜κ=κ[G]。二者都Add（γ，1）N和Add（κ，1）M是非平凡的，后者是＜κ-闭合。

因此，使用引理11.1作为第一步，我们观察到κ≤（2|加（γ，1）|）N≤（2γ）N=2γ≤2＜κ=κ，因此2γ=κ。

定理11的证明。从引理11.2直接得出，如果C（γ）

C（κ）和γ＜κ，则2γ＝κ。所以不可能有三个常规满足C的基数，因为任何较大的实例都是在通过最小的实例，从而通过任何正则基数

满足C将是满足C的第一个或第二个正则基数。因此，任何这样的基数都可以通过强制扩展。同样，由于2γ永远无法访问，无法访问是具有属性C的两个不可访问的基数。

现在让我们分析一下这些定义的复杂性。首先，一可以很容易地看出断言C（κ）在扩展，因为它相当于断言“参数r和一些G，使得在任何Vλ+2中一个i-余数不动点大于κ，则G⊆Add（κ，1）W

五、rλ是WrVλ-泛型，Vλ=WrVλ[G]。”但实际上，我们可以改进这一点，并且我们声称C（κ）具有复杂性π2。具体而言，我们声称V中的C（κ）等价于“对于形式的每个结构Vλ+2，其中λ是在κ之上的余数的i-不动点，存在r，G∈Vλ

使得G⊆加（κ，1）W

五、rλ是Wr泛型，Vλ=WrVλ[G]。”这语句的复杂性为π2，因为我们本质上是在说“若Z=Vλ+2对于一些λ和…，“断言的其余部分发生在Z内部，所有量词都以Z为界，并且“Z=Vλ+2对于某些λ“具有复杂度π1，因为可以说Z是传递的，并且满足某个理论并且包含其成员的所有子集。

重点是，即使断言允许不同的λ使用不同的r和G，这是因为r和G是大小有界——我们有r⊆＜κ+2和G⊆Hκ

是一些特殊的r和G，它们经常与无界重复λ越来越大。任何这样无界出现的对r和G将根据需要确保V＝Wr[G]。

由于C（κ）是π2可表达的，因此很容易得出断言“κ与性质C最小”和“κ与性质C第二”在最坏情况下具有复杂性∆3，断言“κ不可访问且C（κ）”具有复杂性π2。此外，这些定义在任何Vθ内都有效，前提是θ是至少22κ哪一个是可能出现的r和G的数量。

事实上，可以使用π2-集合来代替这个共最终性论点，以确保一些r和G在θ以下有无限多个λ。

可以使用定理11来提供

主要定理的不可毁灭性主张。这个想法是，在用Add（κ，1）强制后，正则基数κ不能是∑3-可扩展的

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