数学论文（番外篇） (8-4)

这几乎回答了这个问题，尽管我们不知道两个基数的情况是否真的可以发生，因此问题10的这一部分仍然是开放的。然而，可用于提供main的主要权利要求的替代证明定理1，正如我们在定理11的证明之后所解释的。

设C（κ）断言κ是正则基数，并且宇宙是通过在某些地面W上强制将Cohen子集添加到κ、 也就是说，“V=W[G]对于一些地W和一些W-一般G⊆添加（κ，1）W。”

定理11。如果C（γ）和C（κ）成立，其中γ＜κ，则2γ=κ。

因此

（1） 满足性质C的正则基数最多有两个。

（2） 至多有一个不可访问基数满足性质C。

（3） 如果C（κ）成立，则κ∆3-可定义为具有性质C的最小正则基数或作为“具有属性C的最大正则基数。”

（4） 如果C（κ）成立并且κ是不可访问的，那么κ是π2-可定义为“具有属性C的不可访问的基数。”

此外，这些定义也适用于Vθ，只要θ是i-不动的共终点大于22κ或其中Vθ满足π2-集合。

换句话说，如果你强迫V将Cohen子集G加到κ上，那么κ在强制扩展中以指定的方式可定义，

并且这个定义在相应的V[G]θ中起作用。这个证明将通过两个引理进行。

引理11.1。假设κ是正则基数，则M和N是ZFC的传递类模型，并且对于一些M-一般G⊆Q∈M和N-一般H𕥄P∈N，其中Q是非平凡的，几乎同质的，策略上＜κ-闭合和Q～=Q×Q

在M和P中是非平凡的。则κ≤（2|P|）N。

证据设γ=|P|N，并针对矛盾假设（2γ）N＜κ。

假设P具有域γ。设δ=γ+，其在

N、 M和V。再次用Q强制V，添加V-泛型G1⊆Q，并形成作为强制扩展的扩展V[G1]＝N[H][G1]

由于γ＜κ和Q是策略性的＜κ-闭合的在N[H]中，它遵循引理5，为Q在N、 N⊆N[H][G1]具有δ-近似和覆盖性质。

还要注意，这里提到的所有模型中的δ+都是相同的。因此N=WrV[G1]，其中r=（＜δ2） 因此V[G1]＝N[H][G1]满足

断言，

“宇宙是地面的强迫延伸

由参数r定义，使用强制P和一些

进一步非平凡的战略＜κ-封闭强制。”

这个断言的参数是r、P和κ，我们声称它们都是在M中：当然κ在M中，并且P∈M[G]很小，所以它不可能是加上G，所以P∈M；对于r，观察到因为r∈N⊆M[G]和r⊆M通过Q的闭包，它从|r|N=（2γ）N＜κQ的闭包又是r∈M。由于V[G1]=M[G][G1]和Q～=Q×Q在M中，两步通用滤波器G*G1同构于Q上的单个M-一般滤波器。由于Q几乎是齐次的得出M通过Q的每一个强制扩展都必须满足关于M中参数的相同断言。特别是，显示的上面的断言在M[G]本身，也就是说，在V中也必须成立。

因此，对于某些WrV，V=M[G]=WrV[H0][G0]-一般H0⊆P∈WrV和一些WrV[H0]-泛型G0⊆Q0∈WrV[H0]，其中Q0是非平凡的并且策略上＜κ-在那里关闭。此外，WrV⊆M[G]具有δ-近似和覆盖性质，正确的δ+，以及r=（＜δ2）WrV。

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