数学论文（番外篇） (8-3)

然而，可以想象的是，主要定理可以通过削弱κ表现出大基数的假设来改进地面模型V中的属性。也就是说，在主要定理中需要假设κ（至少）∑2-在地面上是可扩展的模型V，以便知道用Q强制会破坏∑3-可扩展性。我们可以省略这个假设吗？我们不确定。可能这个假设是多余的，因为可以想象∑3-κ在V[G]中的可扩展性可能意味着κ。

问题7。如果κ是∑3-在强迫扩展中与目标θ可扩展通过策略上＜κ-闭强迫G⊆Q∈Vθ得到的V[G]，则κ是否必须是∑2-可拓的，目标在V中的Q阶以上？

如果是这样的话，那么主要定理可以通过去掉地面模型V中κ的假设，使平面断言在任何非平凡的策略＜κ-闭强迫Q∈Vθ，基数κ不再是∑3-可扩展的目标θ或更高，并且同样地，它也不是超级的、可扩展的、几乎巨大的、令人振奋的，等等。因此，我们将能够主要定理的相同结论，而不假设κ。

下一个定理表明，在许多情况下，对于特定的强迫概念Q，我们可以省略κ是∑2-可拓的假设

在地面模型中。

定理8。假设Q∈Vθ是几乎齐次非平凡的

策略上＜κ-闭合强制和Q=Q×Q。然后强制

其中Q破坏了κ与目标θ或更高的∑3-可扩展性。在里面

特别地，在任何这样的强迫Q之后，基数κ不是超容的，

有目标的可伸展、几乎巨大、隆起、伪隆起等θ或更高。

证据假设V[G]是这样一个Q的强迫扩展，并且κ是∑3-可扩展到V[G]中的θ。自Q～=Q×Q，我们可以查看V[G]＝V[G0][G1]作为每次使用Q的两步强制扩展，其中G～=G0×G1。由于我们假设Q几乎是齐次的，因此，所有V乘Q的强迫扩张都有相同的理论关于地面模型对象，特别是κ必须是∑3-可扩展的在V[G0]中。由于Q在V[G0]中策略性地保持＜κ-闭合，我们可以将主定理2应用于扩展V[G0]⊆V[G0][G1]，可以看出κ不可能是∑3-可扩展到V[G]中的θ，毕竟这是一个矛盾。

推论9。在用以下任何强制概念强制之后，加（κ，1），Add（κ，κ++），Add（κ+，1），Coll（κ++，κ（+）ω2+5）或者对于许多其他类似的强迫概念，正则基数κ在强迫扩展中不是∑3-可扩展的。因此，κ也不是超长的、可扩展的、1-可扩展的，0-可扩展的几乎伸展中的巨大、巨大、隆升、伪隆升或∑3-正等。

证据所有这些强迫概念都满足定理8的假设。

注意，κ的任何∑3-可扩展性目标必须高于这些特定的强迫概念。

我们相信主要定理的大部分现象是通过对以下问题的肯定回答进行解释，由第二位作者在MathOverflow上发表通常由其他强迫概念引起的问题）。在这里，通过添加在地面模型M上κ的Cohen子集，我们的意思是在M上强制具有Add（κ，1）M，其条件是κ有序的有界子集通过末端延伸。

问题10（[Ham13]）。正则基数κ必然变成在强制添加Cohen子集后可定义？特别地，如果M和N是具有共同强迫扩展M[G]的ZFC的模型=N[H]，其中G是Add（κ，1）M的M-泛型，H是加上（γ，1）N，则必须κ=γ？

定理11对这个问题的第一部分给出了肯定的答案

问题，以及在基数不可访问的情况下的第二部分。一般来说，我们证明最多有两个正则基数

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