数学论文（番外篇） (8-2)

五、r0η，式中δ=|Q0|+，单位为V。将其与强迫Vη⊆Vη[G]相结合，我们得出V[G]η=WVηr0[G0][G]是强制WV的延伸ηr0通过大小小于δ的非平凡强迫概念Q0

然后是策略性的＜κ-闭强迫Q。根据引理5，它如下

V[G]η在WV上具有δ-近似和覆盖性质ηr0。

同样，因为Vκ≺2V[G]θ，我们知道V[G]θ也认为它是通过强制超过WV而获得的[G] θr0G0⊆Q0，因此V[G]θ=WV[G] θr0[G0]。通过再次切至η，我们也知道V[G]η=WV[G] ηr0[G0]，并且我们再次知道r0=（＜δ2）WrV0[G]η。

由于这是大小小于δ的作用力，因此V[G]η也具有

WV上的δ-近似和覆盖性质[G] ηr0。所以情况是WV吗ηr0和WV[G] ηr0

都是V[G]η的基δ-近似和覆盖性质，并且它们具有相同的二进制δ-数（＜δ2）W

五、r0η=r0=（＜δ2）W

五、[G] ηr0以及正确的δ+。因此

根据定理4得出WVηr0=WV[G] ηr0。这立即意味着V[G]η=WV[G] ηr0[G0]=WVηr0[G0]。

注意G0∈Vη，因为它在V[G]中，并且秩小于κ

因此不可能通过策略性的＜κ-闭合强迫Q来添加。此外，由于WVηr0⊆Vη，我们从显示的上面的方程V[G]η⊆Vη。这与Q、 从而证明了该定理。

因此，我们现在可以推导出主定理1的其余部分。

主要定理的证明1。主定理2相当于（a加强of）主要定理1陈述（6），现在的重点是主定理1立即被它所暗示，原因很简单，主定理中提到的所有其他大基数性质意味着∑3-在相同目标下的可扩展性。

如果κ是超荣，例如，由嵌入j:V的超荣见证→ M，目标θ=j（κ），Vθ=Mθ，则如下

Vκ≺Mj（κ）=Vθ，从而表明κ是∑n可拓的所有n的目标θ。由于每一个几乎巨大的、巨大的、超巨大的、秩为秩的、可扩展的和1-可扩展的基数也与同样的目标，同样的结论适用于这些基数。每0-可扩展基数对于每个n都是明确的∑n-可扩展的，类似地

提升基数和伪提升基数。如果κis弱超容，则将存在嵌入j:M→ N临界点κ和Vj（κ）⊆N，从而表明Vκ≺Vθ

对于θ=j（κ），证明κ是0-可扩展的，因此∑n-可扩展，对于每一个n，同样的推理也适用于超荣不可折叠基数，它们是弱超荣的。我们已经提到∑n可拓到任意θ∈C（n），因此类似于每个∑n反射基数。

因此，如果κ具有main中提到的任何大型基数性质

定理1，则它是∑3-可扩展的，具有相同的目标θ，并且被强迫Q∈Vθ破坏，表明所有其他大对于θ或更高的目标，基数性质也被破坏。

4.改进、替代证明和问题

由于超紧基数和许多其他大基数可以是使得Laver是不可破坏的，并且这些基数特别是必须是∑2-反射的，因此也是∑2-可拓的，它如下（假设那些大基数概念的一致性）不能从∑3-可扩展性提高到∑2-可扩展性。也就是说，我们已经知道∑2-可拓基数为兼容性质坚不可摧。

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