数学论文（建构性公理的多重宇宙观） (7-4)

然而，事实证明，人们并不需要这种额外的技术在ZF的ω-非标准模型M的情况下，让我来解释这个例子。假设M=hM，∈Mi是ω-非标准模型ZF。设T再次是α∈M的理论ZFC+σα，其中再次σα=∀z（z∈α）⇐⇒W b∈Mα z＝b）。假设没有T+V=L的模型。

考虑非标准理论ZFCM，它包括许多非标准公式。根据反射定理，ZFC公理的每个有限集合在任意大的LM中为真β，所以通过过度填充一定存在非-标准有限理论ZFC*在M中，包括所有标准ZFC公理M认为在某些LM中持有β对于一些不可数序数β在M中，设T*为理论ZFC*加上α∈M的所有σα。这个理论∑1在M中是可定义的，并且我声称M必须有一个从无穷逻辑LM中的T＊+V＝L的矛盾的证明∞，ω。如果不是，则相同如上所述的Henkin构造仍然有效，使用M内部的非标准公式，并且相应的Henkin模型满足所有实际（有充分根据的）T＊+V＝L中的断言，包括所有T＋V＝L，与我们的初步假设相矛盾。所以M有一个矛盾的证明从T*+V=L。由于存在这样一个证明的断言是∑1，我们再次在LM中甚至在LMω中找到一个证明1.。但我们现在可以向M认为LMβ是ZFC*的型号对每个α∈LMω加σα1.哪一个与M内部无限演绎系统的健全性原则相矛盾。重点是，即使演绎是不标准的没关系，因为我们不是在外部而是在内部应用稳健性M。矛盾表明T+V=L毕竟必须有一个模型，因此M具有满足ZFC+V＝L的末端延伸。此外，我们还可以确保M的每个元素在末端延伸如前所述。

让我在本节结束时提到另一个意义。

集合论的可数模型与V＝L原则上是相容的。

定理3.7：（Hamkins[6]）集合论的每个可数模型hM、 ∈Mi，包括每一个传递模型，同构于一个子模型它自己的可构造宇宙hLM，∈Mi。换句话说，有一个嵌入j:M→LM，它是无量词断言的基础。

另一种说法是，集合论的每个可数模型都是同构于LM的模型的子模型。如果我们住在M里面，那么添加新的集合和元素，我们的宇宙可以转变为可构建宇宙LM的副本。

4.集合的一个向上可拓概念

现在我想解释一下在上一节削弱了对V的支持V≠L通过最大化位置，尤其是那些倾向于多元或多元宇宙的集合论者主题的概念。

在我看来，定理3.2已经提供了严重的阻力到V≠L通过最大化论证，即使没有多元宇宙的想法应随后进行讨论。重点很简单，大部分的力量和然而，当仅进行大基数理论时，仍然提供了在V=L下假定丢失的大基数集理论的内容对于可数传递模型，定理3.2表明这可以是在保持V=L的同时完成。我们经常认为一个大的基数论点或建筑同样重要——比如Baumgartner在具有超紧凑基数的模型——因为它有助于我们理解集合论可能性的范围更大。事实上极大范围的集合论可能性是的中心发现过去半个世纪的集合论，人们想要对其进行哲学解释这一现象。大的基本论点通过揭示设定我们可能向往的理论情境。例如，由于Baumgartner的论点，我们可以用自由断言ZFC+PFA与我们对ZFC的热情和信心一样，再加上一个超紧凑基数，我们还获得了关于如何转换的详细知识后一种理论的宇宙到前一种理论，以及这些世界是如何是相关的。d对那个结构的修改是把我们带到世界的原因其中MM持有和MM+等等。从这个角度来看，很大一部分大基数论证的价值已经由我们的能力提供了在ZFC的传递模型上执行，而不是在整个模型上宇宙V。

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