数学论文（建构性公理的多重宇宙观） (7-3)

让我简单地概述一下在可数传递模型的情况下的一个证明M|=ZF。对于这样一个M，设T是理论ZFC加上无穷大断言σa=∀z（z∈a）⇐⇒W b∈a z＝b），对于每个a∈M，在Lω1，ω常符号集理论语言a对于每个元素a∈M。

在M意义上的L∞，ω逻辑中可表达的σa断言，确保T的模型精确地（直到同构）是满足ZFC的M的内延。因此，我们所寻求的是理论T+V=L。假设朝向矛盾的方向没有。我声称

因此，在L∞，ω逻辑的无穷演绎系统，其无穷规则如下：

由i∈i的σi推导出V iσi。此外，我声称存在这样一个M内部的证明。假设不是。那么M认为理论T+V=L是在L∞，ω逻辑中是一致的。因此，我们可以进行Henkin施工通过建立一个扩展T+V=L的新理论T+⊆M无限多个新的常量符号，一次添加一个新句子，每一个都只涉及有限多个新常数，以这样的方式以确保（i）每个阶段的扩展保持M-一致；（ii）T+最终包括M中任何给定的L∞，ω句子或其否定，对于只涉及有限多个新常数的句子；（iii）T+已Henkin性质，因为它包含∃xξ（x，~c）=⇒ξ（d，~c），其中d为一个新的常数符号，专门用于这个公式；以及（iv）每当析取W iσi在T+中，那么也有一些特定的σi在T+中。我们可以建造这样的T+在ω的许多步骤中，就像在经典Henkin构造中一样。如果N是从T+导出的Henkin模型，那么一个归纳论证表明N满足T+中的每一个句子，特别是，它是的一个模型T+V=L，这与我们认为该理论没有模型的假设相矛盾。

所以在演绎中必须有一个从T+V=L的矛盾的证明M内部的L∞，ω逻辑的系统。由于断言存在这样一个证明是集合论语言中的∑1断言，它遵循Levy-Shoenfield定理（推论3.3）证明了LM内部存在这样一个证明，实际上，在LMω内部1..这个证明是LM中的可数对象，并且使用σα仅对α∈LMω的公理1.但是LM满足理论T+V=L以及所有这些a的σα，因此是一个理论模型我们产生了矛盾。这违反了推导的合理性。

因此T+V=L毕竟有一个模型。因此，M有一个根据需要，满足ZFC+V=L的末端扩展，这就完成了证据。

我们可以得到一个更强的定理，其中每个α∈M在末端可拓模型中都是可数的，只需添加断言α是可计数到理论T。关键是，最终的证据LMω内部存在矛盾1.，因此模型LM满足相关α的这些附加断言。类似地，我们也可以安排端扩展模型是逐点定义的，这意味着中的每个元素它在没有参数的情况下是可定义的。这是通过将无限断言⇐⇒x=z），取析取所有一阶公式。这些断言确保每个z由一个一阶公式，重点是在证明中产生的σa可以不仅取自LM，而且取自可定义的元素，因为它们构成LM的基本子结构。

值得注意的是，即使对于非标准模型M，该定理也是成立的，但是上面的证明需要修改，因为M的无限演绎可能不是有充分依据的推论，这就妨碍了稳健性的使用以达到最后的矛盾。（人们可以将矛盾内化为健全性，如果M恰好具有不可数的Lβ|=ZFC，或者甚至仅仅是任意大的这样的β低于（ω1L）M。）达到一般。

然而，在这种情况下，Barwise使用了他的紧致性定理[1]和用一个密切相关的可容许覆盖代替不成立的模型M可容许集，在其中可以找到期望的有充分根据的推论并最终进行本质上相似的论证。我推荐读者至[2]和[3]中的账户。

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