数学论文（建构性公理的多重宇宙观） (7-2)

因此，每个可数传递集对的模型都有一个末端扩展V＝L，其中它是一个集合。特别是，如果我们有一个可数传递函数模型hM，∈i|=ZFC，也许这是一些非常强的模型诸如一类适当的超紧基数的大基数理论，则存在一个模型hN，∈Ni|=V=L，它的M为元素，使得∈N的隶属关系与∈N一致关于M的成员。这意味着N的序数是有充分根据的至少到M的高度，所以N不仅是ω-模型，而且是ξ-模型中ξ=OrdM，我们可以假设隶属关系N的∈N是秩达到并远超集的标准关系∈ξ。此外，我们还可以安排模型满足ZFC−，或者ZFC的任何期望的有限片段，因为这个附加要求是在L中可实现，并且满足它的断言仍然具有复杂性π1.2.。

如果存在任意大的λ＜ω1L，其中Lλ|=ZFC，则假设源自一个无法访问的基数的存在（或者仅仅源自ZF的不可数传递模型），则可以类似地得到ZFC在期望的端部延伸中。

集合论模型是点可定义的，如果模型中的每个对象在没有参数的情况下是可定义的。这意味着V=HOD，因为事实上不需要顺序参数，应该将其视为V＝HOD的强形式，因为这意味着模型是可数的，不是一阶可表达的。

[10]的主要定理是ZFC的每个可数模型（和simi-特别是对于GBC）具有可逐点定义的类强制扩展。

定理3.5：如果Lλ|=ZFC存在任意大的λ<ω1L，则每个可数传递集M是结构M+内的可数传递集合，M+是ZFC+V=L的点可定义模型，并且M+是好的根据需要建立在可数的序数中。

证明：详见[10]。首先，注意L中的每个实数z都在逐点可定义的Lα，否则，L-东反例z将在Lω1中可定义，因此在Lω中∅的Skolem壳中可定义哪一个坍缩为逐点可定义的Lα，其中z是可定义的，这是一个矛盾。

对于任何这样的α，设Lλ|=ZFC恰好具有α，许多更小的Lβ满足ZFC，因此α和z在Lλ中是可定义的，其Skolem壳为∅。

因此折叠成ZFC+V=L的逐点可定义模型，包含。因此定理的结论在L中成立。由于这个定理的复杂性断言是π1.2.，因此，它对V是绝对的，由Shoenfield绝对性决定定理。

定理3.4和3.5列举了一些引人注目的例子。假设为0的实例♯存在。考虑到它是真实的，论证表明0♯存在于ZFC+V=L的逐点可定义模型内，有充分的依据远远超过ω1L。因此，我们实现了一种奇怪的情况，在这种情况下，真实的0♯坐在一个有充分根据的V=L模型中，不可识别，但可定义很长一段路。对于第二个例子，考虑由迫使ω1坍塌为ω。通用滤波器g由实数编码，因此在存在一个模型M|=ZFC+V=L，其中g∈M且M成立超过ω1V。模型M认为通用对象g实际上是可构建的，在某个（必然是非标准的）阶段构建的ω1V。这些型号肯定不寻常。

当然，这些论点的主题可以追溯到Barwise的一个优雅定理，定理3.6，断言ZF的每个可数模型具有ZFC+V=L模型的末端扩展。在Barwise定理中原始模型只是末端扩展的一个子集，而不是如定理3.4和3.5中所述的末端扩张的元素。通过放弃目标是使原始宇宙本身最终成为一个集合，Barwise只寻求使原始宇宙的元素，从而能够实现ZFC+V=L的完整理论末端扩展，没有定理3.5中的额外假设，其中这里不能省略。另一个重要的区别是Barwise的定理3.6也适用于非标准模型。

定理3.6：（Barwise[2]）ZF的每个可数模型对ZFC+V=L的模型都有一个内延。

M→L

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