逻辑论文 (15-7)

因此如果P是强迫概念并且a是由数T见证的P的uB，S、 以及通过数T0，S0，则在任何P-一般扩展V[G]，P[T]中=p[T0]＝AG。

备注2.6。从命题2.2（iii）中可以清楚地看出，集合a⊆R是uBiff

对于每个c.B.a.B，V B²“a

▪G是uB”。

定理2.7。（[2]）i）每一个分析集，因此每一个协分析集，是普遍的拜尔。

ii）每∑1.2.

reals的集合是uB，当每个集合x，x]存在时。

2.2.A闭合模型。

现在让我们定义A-闭集的概念，这也是定义Ω-可证明关系Ω.

定义2.8。（[12]）给定一个uB集a⊆R

ZF C的（一个片段）是a-闭的，如果对于所有偏序集P∈M和所有V-泛型

滤波器G⊆P，

V[G]²M[G]åAG∈M[G]

（即°P“M[

▪G]åA

▪G∈M[

▪G]“，其中

▪G是的标准P名称通用过滤器）。

Woodin已经给出了A闭包的其他几个定义，但接下来

命题表明它们是等价的。

2.9号提案。给定一个uB集a⊆R和ZFC的传递模型M，以下是等效的：

a） M是a-闭合的。

b） 对于所有的无限γ∈MåOn，对于所有的G⊆Coll（ω，γ）V-泛型，

V[G]²M[G]∈AG∈M[G]。

c） 对于所有偏序集P∈M和所有τ∈MP，{P∈P|P°

五、Pτ∈A

▪G}∈M。

d） 对于所有无限γ∈M∈On和所有τ∈MColl（ω，{p∈Coll（ω，γ）|p°

五、Coll

（ω，γ）τ∈A

▪G}∈M。e） 对于所有偏序集P∈M，{（τ，p）|τ∈M是实数的一个简单p-名，p∈p和p°

五、Pτ∈A

▪G}∈M。f） 对于所有偏序集Pγ=Coll（ω，{（τ，p）|τ∈M是实的一个简单的pγ名称，p∈pγ和p°

五、Pγτ∈A

▪G}∈M

证明：注意含义（a）⇒（b）、（c）⇒（d）和（e）⇒（f）

立即的（b） ⇒（d）：固定γ∈M∈On。由于M²ZF C和M是可传递的，Coll（o，c）∈M。设∈MColl（o，c）通过（b），存在p∈Coll（o，c）（c）

使得p°五、Coll（O，c）M[

▪GåA

▪G=s0。自Coll（o，c）

是齐次的，我们可以将σ0替换为M中的Coll（Ω，γ）-名称σ，使得Coll（o，c）中的每个条件都强制（V）M[

▪GåA

▪G=s。这个，为了每个q∈Coll（o，q°五、Coll（h，c）t

五、Coll（o，c）A

▪G。

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