逻辑论文 (15-6)

2.2号提案。（[2]）。对于A⊆R，以下是等效的：

i） A是普遍的Baire。

ii）对于每个紧致豪斯多夫空间X和每个连续函数

f:X→ R、 集合f−1（A）＝{x∈x|f（x）∈A}具有

Baire，即存在一个开集O⊆X使得对称

差值f−1（A）4O很小。

iii）对于强迫P的每个概念，ω×2|P上存在数T和S|

使得A=p[T]=ωω。我们说

数T和S证明了A对于P是uB。

下面是一个众所周知的事实的特例，即给定数的良好基础对于具有相同数的ZFC的所有模型都是绝对的

序数。

2.3号提案。设T和S是ω×κ上的数，对于一些序数κ。

假设p[T]åp[S]=∅。那么，在任何强迫扩张V[G]中，我们也使p[T]V[G]≠p[S]V[G]=∅。

证明：对于一个矛盾，假设P是一个强迫概念，P∈P，τ是一个实的P-名称，P°τ∈P[T]≠P[S]。

设N≺H（λ），λ是一个足够大的正则基数，N是可数的

p，p，τ，T，S∈N。设M为N的传递坍缩，设p，P，τ，T和S分别是p、p、τ、T和S的传递坍缩。因此，在M我们有p°

Pτ′∈p[T′]∈p[S′]。

设g为P-带有p∈g。因此，在M[g]中，我们有

τ′[g]∈p[T′]≠p[S′]。

注意p[TåN]⊆p[T]和p[SåN]≾p[S]。此外=TåN和S

因此，由于传递坍缩是自然上的恒等式数，p[T’]⊆p[T]和p[S‘]≾p[S]，与p[T] p[S]是不相交的。

推论2.4。设T，T0和S是ω×κ上的数，对于一些序数κ。

假设p[T]=p[T0]并且p[S]=ωω\p[T]。如果在V[G]中，p[S]V[G]=ωω\p[T]V[G]，则p[T0]V[G]⊆p[T]V[G]。

备注2.5。一般来说，在与推论相同的假设下

2.4，我们不能得出p[T0]V[G]=p[T]V[G]的结论。例如，可以ω上的数S和T，使得p[S]是实数集在ω的偶数元素上取0的值无穷频繁，p[T]是在ω的偶数元素上取值为0的实数集，且使得S和T将投影到具有这些定义的集合（从而投影到补码）。此外，如果{xα：α＜2ω}是在地面模型中）在ω的偶数元素，T0是由所有对（a，b）组成的数，其中b是a具有某个固定值α＜2ω的有限常数序列，并且a是xαcco|b|，则

地面模型中的p[T]=p[T0]，但p[T]6=任何强制延伸中的p[T0]

这增加了真实感。

根据推论2.4，如果A⊆R在ZFC的模型N中是κ-uB，见证通过数T和S，并且N[G]是N通过强制概念的扩展基数小于κ，则AG:=p[T]N[G]等于中的实数集N[G]，它们在N中某个数的投影中A是κ-uB。因此，给定A⊆R是一个uB集合，A具有规范解释任意集合中的AG强制V的扩展V[G]，即：

AG=[｛p[T]V[G]|T∈V和A=p[T]V｝。

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