逻辑论文 (15-4)

（注意，由于T是r.e.，“T²Ω 在Sent中可以写成一句话。

因此，ii）是有道理的。）

证明：i）⇒ ii）设α∈On和B为c.B.a。设β＜α

▪Q是c.B.a。

在VαB中，使得VαB²“V

▪βQ²T”。然后V B*

▪βQ²T.由i），V B*

▪βQ²和因此VαB²“V

▪βQ²“。

ii）⇒ i） 假设α∈On，B是c.B.a，VαB|=T。固定β＞α，βa极限序数。由于T是r.e.，如果VβB|=“ψ∈T”，则ψ∈T，因此

VαB|=ψ。因此，VβB|=“Vα|=T“。

通过ii），VβB|=“T|=Ω “。因此VβB|=“Vα|=Ω “，我们得到VαB|=。

备注1.10。假设ZF C是一致的。此外，对于iv），假设VαB|=ZF C与ZF C一致，对于一些序数α和一些c.B.a.B.然后，

i） 如果对传递集来说，Γ是绝对的，那么ZF C`（Γ→ ∅ ²Ω ξ）。

ii）对于一些Γ∈Sent，ZF C δ`（Γ→ （∅²Ω ξ））。

iii）对于一些Γ∈Sent，ZF Cδ`（（ZF C²Ω ξ）→ ξ）。

iv）对于一些Γ∈Sent，ZF Cδ`（（ZF C²Ω “ZF C²Ω ξ”）→ （ZF C²Ω

ξ））。

证据：i）是明确的。ii）适用于可以强制为true和false，例如CH。

iii）设ξ=“∃β（Vβ²ZF C）”。设M是ZF C的一个模型α和M中的每个B，MαB6|=ZF C（称这种情况为1），则M²“ZF C²Ω“+”。否则，设β最小，使得MβB|=ZF C，对于一些B。

则MβB是ZF C的一个模型，称之为N，并且具有对于α和每一个c.B.a.c，NαC6|=ZF c。所以，我们回到情况1。

iv）考虑以下句子：ξ=“βγ（β＜γ∧Vβ²ZF C∧Vγ²ZF C）”。

设M是ZF C的一个模型，使得M|=αB（VαB|=ZF C）。如果每α和每个c.B.a.B，MαB6|=ξ（称为情况1），则M²（ZF c²Ω“ZF C²Ω ξ“）+（ZF C²Ω ξ）。

如果对于一些α和B，MαB|=ξ，则设γ是最小序数，使得MγB²ZF C+β（VβB²zfc）。设N为MγB。则N具有属性对于每一个α和每一个C，NαC6|=ξ，所以我们回到情况1。

定理1.11（²的非紧性Ω). 存在TÜ｛⏴｝⊆发送为T²Ω 但是对于所有有限的S⊆T，S2Ω ▪。

证明：设ξ0为断言句子：存在最大极限序数。

对于每个n∈ω，n＞0，设ξn是断言的句子：如果α是最大的

极限序数，则α+n存在。

最后，设ξ为断言的句子：每个序数都有一个后继词。

设T={ξn:n∈ω}。

然后，T|=Ω ▪。但是如果S⊆T是有限的，那么S 6|=Ω ▪。

通过更多的工作，我们可以证明²的紧致度Ω 也失败

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