逻辑论文 (15-3)

如果T²Ω 我们说ΩT-有效，或者说Ω-从T开始有效。

观察关系的复杂性T²Ω Γ至多为π2。的确

T²Ω ξiff

（B a c.B.a.∧α∈On→ （VαB²T→ VαB²

显示的公式是π2，因为作为c.B.a.是π1，类函数α7→ VαB是∆2可定义的（即∑2和π2都可定义），其中B是参数

显然，如果T²ξ，则T²Ω ▪。然而，请注意，相反的情况并非如此

是的。事实上，我们可以很容易地找到ΩZF C-不可判定的有效句子

在ZF C的一阶逻辑中，即句子ξ使得ZF Cb平方米和ZF Cb平方米。例如，CON（ZF C）：对于所有的α∈On和所有的C.B.a。

B、 如果VαB²ZF C，那么由于VαB是ZF C的标准模型，我们有VαB²CON（ZF-C）。

在大基数下，关系²Ω 在强制扩展下是绝对的：

定理1.8。（[17]）假设存在一个适当的Woodin类

大基数。如果TŞ｛ξ｝⊆Sent，则对于每个强迫概念P，

T²Ω ξiff V P²“T²Ω “

证明：⇒) 设P是一个偏序集。认为β，

▪Q∈V P使得V P²“V

▪βQ²T”。根据推论1.2，V P*

▪Q²“Vβ²T”。根据假设，V P*

▪Q²“Vβ²ξ”，

因此V P²“V

▪βQ²“。⇐) 假设V P²“T²Ω “。设Q是一个强迫概念，且α∈On。

设Vα，

设δ＞κ，α为Woodin基数。允许a={X|X≺Hκ+和X可数}。

注意，根据事实1.4，a∈PV[G]＜δ.让PV[G]＜δ

（a） 是强制PV[G]＜δ限于a。

设I⊆PV[G]＜δ

（a） 是一个V[G]-通用滤波器。在V[G][I]中存在一个初等嵌入j:V[G]→ M具有M传递性，使得：

i） V[G][i]²M＜δ⊆M，

ii）（Hκ+）V

在M中是可数的，并且j（α）＜δ。（参见[6]。）

P∈M，且V中P的稠密子集集是M中的可数集，因此M存在一个V-一般滤波器J⊆P。然后V〔J〕𕥄V〔G〕〔I〕

偏序集S∈V[J]，存在一个V[J]-泛型K⊆S使得V[G][I]=V[J][K]。

由于假设VαQ²T，VαV[G]²T，则

(Vj(α))M = (Vj(α))V [G][I] = (Vj(α))V [J][K] ² T.

由于V P²“T²Ω ξ”，（Vj（α））V[J][K]²。因此（Vj（α））M²

VαV[G]²。因此，VαQ|=ξ。

1.3.²的一些性质Ω.

引理1.9。对于每一个递归可枚举（r.e.）集TŞ｛ξ｝⊆Sent，

以下是等效的：

i） T²Ω ▪。

ii）∅²Ω “T²Ω “。

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